Уравнения равновесия осесимметрично нагруженных оболочек.

ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК

Безмоментная теория оболочек вращения.

Общие замечания.

Оболочкой вращения называется такая оболочка, срединная поверхность которой получена вращением некоторой кривой (меридиана) вокруг оси оболочки, лежащей в ее плоскости. Параллелями оболочки являются линии пересечения поверхности оболочки с плоскостями, нормальными к оси вращения ( = const, Рис.1).

Положение точки С на поверхности оболочки можно задавать либо цилиндрическими координатами , либо гауссовыми (географическими) . Кроме того будем иногда пользоваться и криволинейными координатами по меридиану и параллели .

Радиус кривизны меридиана обозначим через , а радиус кривизны нормального сечения (Рис. 2 - в нормальном сечении оболочки, а не в ее поперечном сечении).

Для элементов длины дуги меридиана и параллельного круга будем иметь

= (1.1)

Следовательно

Принимая во внимание

получаем для коэффициентов первой квадратичной формы оболочки вращения

Радиусы кривизны оболочки вращения связаны между собой

Предполагается, что напряженное состояние оболочки является безмоментным, в ее нормальных сечениях будут только усилия являющимися функциями двух координат. Эти усилия представляют собой интегралы по толщине от соответствующих напряжений.

Уравнения равновесия осесимметрично нагруженных оболочек.

Если оболочка нагружена осесимметрично, то окружные составляющие внешней нагрузки отсутствуют , нормальные усилия зависят только от продольной координаты , а сдвигающих усилий нет . Из оставшихся двух уравнений равновесия следует:

из уравнения на касательную к контуру поперечного сечения

где - равнодействующая всех сил, приложенных к оболочке выше рассматриваемого сечения по оси ,

и из уравнения на нормаль к этому сечению

,

где - нормальная осесимметричная нагрузка в сечении.

Из нашего первого, продольного, осевого уравнения равновесия имеем меридиональные усилия

, (1.2)

а из второго, называемого уравнением Лапласа, находим кольцевое усилие -

(1.3)

Естественно, что задача определения усилий в оболочке получилась статически определимой.

Рассмотрим теперь некоторые отдельные варианты оболочек вращения.

1. Сферическая оболочка.

Для сферической оболочки имеем

(1.4)

Пусть оболочка нагружена только равномерным внутренним давлением . Тогда из суммы проекций на ось оболочки

Отсюда

(1.5)

Из уравнения Лапласа при имеем

(1.6)

Здесь окружные напряжения равны меридиональным, что следует из симметрии задачи относительно центра сферы.

2. Цилиндрическая оболочка.

Для цилиндрической оболочки из ее геометрии, учитывая, что меридиан совпадает с образующей, а кольцевое сечение - с параллелью, имеем

Из уравнения равновесия на ось оболочки

Пусть оболочка растянута силой по ее оси. При этом

причем сила реализуется погонной нагрузкой по контуру.

Продольное и кольцевое усилия

3. Коническая оболочка.

Для конической оболочки будем иметь (Рис. 1.3)

Пусть оболочка нагружена равномерным внутренним давлением p (Рис. 1.4) и закреплена от продольных смещений.

Тогда из равновесия верхней части оболочки.

Отсюда

Из уравнения Лапласа

Эти выражения относятся только к конической части оболочки, но не к днищу.

---

Дата добавления: 2015-12-08