Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Утверждение 1.

Читайте также:
  1. Выбор и утверждение темы дипломной работы
  2. ВЫБОР ТЕМЫ ДИПЛОМного проекта И ЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ
  3. Глава 5. Подготовка, утверждение и изменение региональных нормативов
  4. Кто в соответствии с ГрК РФ от 29.12.04 может и должен проверять проектную документацию перед ее утверждением.
  5. Одобрение или утверждение правительством
  6. Оформление и утверждение
  7. Подписание, ратификация, принятие, утверждение и присоединение

Если последовательность {yn} такова, что yn=+ , то последовательность { }имеет смысл, и она бесконечно малая, то есть =0.

Утверждение 2.

Если последовательность{yn} такова, что n: yn>0 ( n: yn<0) и yn=0, то { } бесконечно большая, то есть (соответственно, )

 

Вернёмся к функции h(z).

Надо доказать, что h(z)=e, h(z)=e.

Возьмём произвольную последовательность {zn} такую, что n: zn>0 и n: хn= и zn=0 хn=+ .

Рассмотрим последовательность соответствующих значений функции h(z): {h(z)}= { }={ }={g(хn)}.

Но, следовательно, h(zn)= g(хn)=e h(z)=e.

Аналогично доказывается, что h(z)=e.

А тогда из равенства h(z)= h(z)=e по теореме §5 следует, что =e.

 

Глава 4. Непрерывность функции.

Определение непрерывной функции.

Примеры.

1. f(x)=x2+1,

X=(, + )

 

y
x
 
 

 

 

2. f(x) =

X=(, +

y
x
 
 

3. f(x)=x2+1,

X=(, 0 0, + )

y
x
 
 

4. f(x)=

X=(, +

y
x
 

5. f(x)=

X=(, +

y
x
 
-1
-1

 

Определение.

Говорят, что функция f(x) со стандартной областью определения X непрерывна в точке xо, если

(1) xо X

(2) f(x)

(3) f(x)= f(xо)

 

Расшифровка определения непрерывности функции в точке.

I (1). xо X, (2) - (3) в смысле Гейне

n} n: хn Х

хn= хо: f(xn) = f(xо)

II (1). xо X, (2) – (3) в смысле Коши

0 >0 х (х Х, │x - хо│< ): │f(х)- f(xо)│<

III Зафиксируем точку xо X и возьмём приращение (смещение) △x такое, чтобы xо+△x X. Пусть xо+h= xо+△x=x h=△x=x- xо = f(xо+h)= f(xо+△x)

(1) xо X, (2) – (3) означает, что

0 >0 h (xо+h Х, < ): │f(xо+h) – f(xо) │< f(xо+△x)= f(xо)

IV Зафиксируем xо X и сместимся из точки xо в точку x= xо+ △x X, не покидая X.

Обозначим через △f=△f(xо; △x)= f(xо+△x) –f(xо) – приращение функции, вызванное смещением △x из точки xо.

(1) xо X, (2) – (3): △f (xо; △x)= △f(xо; h)=0.

 

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке X.

Определение.

Точка xо называется точкой разрыва функции f(x), если

либо xо X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X;

либо xо X, но f(x);

либо xо X, f(x), но f(x) f(xо).

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной, если она не имеет точек разрыва как принадлежащих X, так и не принадлежащих X.

 

Примеры.

1. f(x)= , X=(– , 0) (0, + ).

f(x) непрерывна на X, но xо=0 – точка разрыва функции f(x).

2. f(x)= , X=(0, + )

f(x) непрерывна на X и f(x) непрерывная функция.

1) Докажем сначала, что f(x) непрерывна на X.

Возьмём произвольное x X и дадим ему приращение △x такое, чтобы xо+△x X △f(x; △x)= = = Но при △x 0

△f(x; △x)= 0 По расшифровке IV непрерывен в точке x непрерывен на (0, + )=X.

2) Но точек разрыва у нет, следовательно, f(x)= – непрерывная функция.

 

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 85 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Доказательство. | Доказательство. | Закон двойственности. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Докажем теорему 2. | Доказательство. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Доказательство.| Классификация точек разрыва функции.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)