Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доказательство. 1.Необходимость.

Читайте также:
  1. Доказательство.
  2. Доказательство.
  3. Доказательство.
  4. Доказательство.
  5. Доказательство.
  6. Доказательство.
  7. Доказательство.

1. Необходимость.

{xn} сходится а 0 N n>N: │xn - а│< .

Возьмём произвольное 0, зафиксируем его и проверим выполнение условия Коши.

{xn} сходится а 0, а значит и для нашего фиксированного >0, N n>N: │xn - а│< .

Возьмём произвольные n>N и m>N и рассмотрим │xn - хm│=│xn -а+а - хm │xn - а│+│xm - а│< + = , т.е. условие Коши выполнено.

2. Достаточность.

Пусть {xn} удовлетворяет условию Коши 0 n>N, : │xn - хm│< .

Докажем, что {xn} сходится.

{xn} удовлетворяет условию Коши 0, а значит и для =1>0 N=N() n>N и m>N: │xn - хm│< .

Пусть m=N+1>N: │xn - хN+1│<1 n>N: xN+1 -1<xn<xN+1+1 n>N+1: xn (xN+1 -1, xN+1+1).

Вне этого интервала могут находится х1, х2, …, хN.

Пусть А=min{х1, х2, …, хN, xN+1 -1}

B=max{х1, х2, …, хN, xN+1+1}

Тогда n, n=1, 2, …: xn [А, В] {xn} – ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса (§9) из {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk}.

{xnk} сходится а: а= xnk.

Докажем, что а= xn.

По условию Коши, 0, >0, N n>N m>N: │xn - хm│< .

Положим m=nk k>N. Тогда xnk - < xn< xnk+ .

Устремим k + . Тогда по теореме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для одной последовательности) получаем а- xn а+ │xn - а│ < │xn - а│< а= xn.

 

Определение.

Последовательность {xn}, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Из критерия Коши следует, что числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

 

§11. Число .

Рассмотрим последовательность {(1+ )n}.

Обозначим элемент этой последовательности yn=(1+ )n.

Докажем, что {yn} сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена сверху.

Используем формулу Бинома-Ньютона:

yn= (1+ )n=1+n· + · +…+ · +…+ · = =1+1+ (1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )

yn+1=1+1+ (1- )+…+ 1- )…(1- )+…+ 1- )…(1- )+ + (1- )… (1- )

1. {yn} строго возрастает.

n, n=1, 2, …: yn<yn+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо > и, кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).

2. {yn} ограничено сверху.

Для доказательства заменим каждый множитель (1- ) единицей, ибо k n (k-1<n).

Используя неравенство k!=1·2·3·…·k 1·2·2·…·2=2k-1, k=1, 2, …, получим

yn<1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ +…=1+ =1+2=3

Итак, n: yn<3.

Тогда по теореме о сходимости ограниченной монотонной последовательности (§7) yn= = sup {(1+ )n}.

2,7182848…

 

Глава 3. Функции.

§1. Понятие числовой функции числового аргумента.

Определение.

Пусть Х – непустое множество. Х .

Говорят, что на множестве Х задана функция, если указан закон, согласно которому каждому элементу х Х поставлено в соответствие число y.

Обозначается функция: y=f(х); х Х.

При этом множество Х называется областью определения функции, а множество Y={y; y=f(х), х Х } называется множеством значений функции y=f(х), х Х.

Примеры.

1. Х= {1, 2, …, n, …}

yn=f(n), n=1, 2, … - числовая последовательность. – Это функция, областью определения которой является множество всех натуральных чисел.

2. Х= {1, 2, …, n, …}

f(n)=[an, bn]

3. Х= { }, - фиксированный вектор в 3, 3.

()=[ ] – векторная функция векторного аргумента.

g()=(, ) – числовая функция векторного аргумента.

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 133 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Простейшие операции над множествами. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Закон двойственности. | Доказательство. | Доказательство. | Докажем теорему 2. | Доказательство. | Доказательство. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Доказательство.| Доказательство.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)