Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доказательство. Докажем основной случай.

Читайте также:
  1. Доказательство.
  2. Доказательство.
  3. Доказательство.
  4. Доказательство.
  5. Доказательство.
  6. Доказательство.
  7. Доказательство.

Докажем основной случай.

Пусть {xn} неограниченна сверху и возрастает.

{xn} неограниченна сверху E>0 : xN>E.

А так как {xn} возрастает, то : xn xn+1 x1 x2 xN xN+1 xn … при n>N E>0 N n>N: xn>E {xn} стремится к + .

Задача.

Доказать самостоятельно, что любая неограниченная снизу убывающая последовательность стремится к - .

 

§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).

Пусть задана числовая последовательность { xn} ={x1, x2, …, xn, …} (1)

Тогда можно образовать следующие последовательности:

{x1, x3, x5, …, x2k-1, …} nk=2k-1, k=1, 2, …

{x2, x4, …, x2k, …} nk=2k, k=1, 2, …

{x1, x4, x9, …, xk·k, …} nk= k2, k=1, 2, …

{x2, x3, x5, x6, …, xpk, …} nk=pk, k=1, 2, …

 

Определение.

Частичной последовательностью или подпоследовательностью последовательности (1)называется любая последовательность вида

{xn1, xn2, …, xnk, …}, в которой номера n1<n2<…<nk<… образуют строго возрастающую последовательность, при этом nk k, k=1, 2, …

 

Теорема 1.

Любая подпоследовательностьсходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел.

Доказательство.

Пусть {xn} сходится а 0 N n>N: │xn-а│< и пусть { xn} - произвольная подпоследовательность последовательности {xn}.

Докажем, что xn=а.

Так как {nk} строго возрастает и : nk k, то по теореме §5 {nk} стремится к + 0, а значит и для E=N>0 номер K такой, что k>K: nk>N >0 >K: │xn-а│< а= xnk.

Теорема 2.

Любая подпоследовательность последовательности стремящейся к + (- (соответственно, к - ).

Доказательство.

Пусть {xn} стремится к + 0 N n>N: xn>E.

Пусть {xnk} – произвольная подпоследовательность последовательности {xn}. Тогда по определению

nk=+ N>0 >K: nk>N E>0 >K: xnk>E xnk=+ .

 

Задача.

Доказать самостоятельно теорему 2 в случае стремления последовательности к - .

 

Замечание.

Из сходимости некоторой подпоследовательности сходимостьисходной последовательности, вообще говоря, не вытекает.

Пример 1.

Последовательность {0, 0, …, 0, …} является подпоследовательностью последовательности {0, 1, 0, 2, …}. Она неограниченна.

Пример 2.

Последовательность {1, 0, 1, 0, …} (*) расходится, т.к. она имеет две подпоследовательности {0, 0, …, 0, …} nk=2k, k=1, 2, …, x2k=0

и {1, 1, …, 1, …} nk=2k-1, k=1, 2, …, x2k-1=1

и предположение о том, что (*) имеет предел приводит к противоречию с теоремой 1.

Возникает вопрос:

Сколько подпоследовательностей (произвольных, но фиксированных) имеет последовательность исходной?

Пусть - множество всех подпоследовательностей последовательности.

имеет мощность континуума.

Определение.

Число называется частичным пределом {xn}, если {xnk} – её подпоследовательность такая, что xnk=

Рассмотрим множество M всех частичных пределов данной последовательности {xn}.

Возможны следующие варианты:

I. М .

1. М – ограничено inf M и sup M

 

Определение.

Нижним пределом {xn} называется = inf М.

Верхним пределом {xn} называется = sup М.

2. М –ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Тогда по определению = inf М, а =+ .

3. М – ограниченно сверху и неограниченно снизу.

Тогда по определению = sup М, а = .

 

II. M= .

В этом случае у {xn} нет ни одной сходящейся подпоследовательности.

Например, {1, 2, 3, …, n, …}.

Тогда 1) если у последовательности {xn} существует подпоследовательность, стремящаяся к + , то =+ .

2) если у последовательности {xn}, существует подпоследовательность, стремящаяся к - , то = .

 

§7. Монотонные последовательности.

Теорема.

Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 150 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Простейшие операции над множествами. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Закон двойственности. | Доказательство. | Доказательство. | Докажем теорему 2. | Доказательство. | Доказательство. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Доказательство.| Доказательство.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)