Элементы аналитической геометрии

2.1. Предварительные сведения. Всюду далее предполагается, что на плоскости задана декартова (прямоугольная) система координат с осями OX, OY и началом координат в точке O(0;0).

Расстояние от произвольной точки до начала координат задается формулой

, (2.1a)

расстояние между двумя точками , - формулой

. (2.1b)

Координаты точки C (середины отрезка [AB]) можно найти по формуле

; . (2.2)

Если соединить точки O, A направленным отрезком, получим вектор , длина которого задается формулой (2.1a).

2.2. Прямая на плоскости. Среди различных уравнений прямой на плоскости наиболее распространенными можно считать следующие.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

, (2.3)

где A, B, C – вещественные числа (неравенство означает, что коэффициенты A и B не обращаются в нуль одновременно). Вектор называется вектором нормали и перпендикулярен данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом представляет собой уравнение, разрешенное относительно y:

. (2.4)

Здесь k – угловой коэффициент прямой (тангенс угла, который прямая образует с положительным направление оси OX).

Уравнение прямой в отрезках записывается в виде

, (2.5)

где a и b – соответствующие координаты точек пересечения прямой с осью OX (точка A(a;0)) и OY (точка B(0;b)).

Например, прямая проходит через точки A(1;0) и B(0;-2); прямая через точки A(1/3;0) и B(0;1/5); (так как уравнение равносильно уравнению .

Каноническое уравнение прямой имеет вид , а параметрическое –

, (2.6)

где - точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор прямой.

Пример 2.1. Дана прямая . Выписать ее вектор нормали, найти угловой коэффициент, построить прямую на плоскости.

Решение. Сравнивая уравнение данной прямой с (2.4), замечаем, что в нашем случае (коэффициент при x), (коэффициент при y), поэтому . Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно y:

; . (2.7)

Сравнивая с уравнением (2.5), замечаем, что k=3/5. Как известно, для построения прямой необходимо знать координаты двух точек, через которые проходит прямая. Задавая значения x, из (2.7) можно найти соответствующие значения y: ; . Итак, остается провести прямую, проходящую через точки A(0; 2/5), B(1; 1).

Пример 2.2. Прямая задана параметрическим уравнением . Выписать направляющий вектор данной прямой и координаты двух точек, лежащих на ней, а также координаты ее вектора нормали.

Решение. В соответствии с уравнением (2.6) , а точка A(-2;0) лежит на прямой. Чтобы найти координаты второй точки, лежащей на прямой, зададим какое-нибудь значение параметра t. В частности, при t=1 x=-1, y=-3, т.е. точка B(-1;-3) принадлежит прямой. Вектор нормали связан с общим уравнением прямой, а чтобы перейти к нему, необходимо в одном из заданных уравнений выразить t через x и полученное выражение подставить во второе уравнение. Например, из первого уравнения , поэтому . Окончательно имеем: ,

Пример 2.3. Привести к уравнению в отрезках прямую, заданную общим уравнением .

Решение. Проведем преобразования общего уравнения, чтобы привести его к виду (2.5).

.

Последнее уравнение и есть искомое уравнение в отрезках.

2.3. Угол j между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом (, ), определяется с помощью формулы

. (2.8)

Из (2.8) вытекают условия параллельности ( ) и перпендикулярности двух прямых ().

Пример 2.4. Выбрать из прямых (I) – (V) параллельные и перпендикулярные, определить угол между прямыми (I) и (VI):

(I) ; (II) ; (III) ;

(IV) ; (V) ; (VI) .

Решение. Сначала для каждой прямой найдем угловой коэффициент:

(I): ;

(II): ;

(III) ;

(IV) ;

(V) ;

(VI) .

Поскольку , , получаем, что прямые (I) и (III), (II) и (V) параллельны. С другой стороны, , а потому прямые (I) и (II) перпендикулярны (следовательно, перпендикулярны и прямые (III) и (II), (I) и (V), (III) и (V)). Чтобы найти тангенс угла между прямыми (I) и (VI), воспользуемся формулой (2.8): . Но тогда .

2.4. Составление уравнений прямых. Рассмотрим основные типы возникающих задач.

1) Записать уравнение прямой с известным угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку . Ответом является уравнение

. (2.9)

Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,-3) и образующей с положительным направлением оси OX угол 120⁰.

Решение. Координаты точки известны, а угловой коэффициент - это тангенс угла наклона, т.е. . Подставляя в (2.9), получаем: или .

2) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно прямой . Для решения используем уравнение (2.9) и учтем, что угловые коэффициенты параллельных прямых совпадают:

. (2.10)

3) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно прямой . Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , поэтому . Остается подставить это в (2.10) и получить уравнение:

. (2.11)

Пример 2.6. Составить уравнения прямых, проходящих через точку
A(2,-3) параллельно и перпендикулярно прямой .

Решение. Так как , то угловой коэффициента данной прямой . Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через A(2,-3) параллельно данной прямой, воспользуемся уравнением (2.10): или . Результат можно проверить, подставив в полученное выражение координаты заданной точки: (если получили тождество, как в данном примере, уравнение правильное).

Аналогично действуем при составлении уравнения перпендикулярной прямой, только используем (2.11): , , и окончательно . Проверка: .

4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки , , имеет вид

. (2.12)

Пример 2.7. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3), B(-1;5).

Решение. Подставляя в (2.12) координаты данных точек, получаем:

.

Собирая теперь все в одну сторону, приходим к уравнению . Проверить результат можно, подставляя в него поочередно координаты точек (как при проверка в примере 2.6): , .

Замечание. В некоторых задачах нужно найти точку пересечения заданных прямых. Для этого решают систему уравнений, задающих эти прямые.

Пример 2.8. В треугольнике с вершинами O(0;0), A(3;3), B(-1;5) найти уравнения стороны AB, медианы AE и высоты OK, а также длину высоты OK.

Решение. У равнения стороны AB было получено при решении примера 2.6: .Далее, по определению медианы треугольника точка E – середина отрезка BO, поэтому ее координаты можно найти по формуле (2.3):

, .

Таким образом, теперь надо составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3) и E(-1/2;5/2). Подставляем их координаты в (2.12):

.

Итак, уравнение медианы AE имеет вид .

Далее, высота OK – это прямая, проходящая через вершину O перпендикулярно прямой AB. Воспользуемся уравнением (2.11). Угловой коэффициент прямой AB находим из уравнения : , поэтому . Тогда имеем: , и уравнение высоты OK .

Теперь найдем координаты K – точки пересечения построенной высоты и прямой AB. Решаем систему уравнений:

.

Итак, . В силу (2.1b) .

2.5. Полуплоскости и системы линейных неравенств. Неравенство определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой , неравенство - полуплоскость, лежащую выше этой прямой. В обоих случаях прямая включается в полуплоскость и на рисунке изображается сплошной линией. Для строгих неравенств прямая в полуплоскость не включается и изображается пунктиром. Решить систему линейных неравенств – значит найти полуплоскости, задаваемые каждым из неравенств, и определить общую часть этих полуплоскостей. Полученное множество может быть как замкнутым, так и «неограниченным». В любом случае для завершения решения необходимо найти вершины полученной области.

Пример 2.9. Решить графически систему линейных неравенств:

a) b) .

Решение. Сначала надо построить все прямые (рассмотрев соответству-ющие равенства); затем из каждого неравенства выразить y и определить требуемую полуплоскость; затем найти пересечение найденных полуплоскостей.

В случае a) прямая проходит через точки (0;1) и (1;0), а фигурирующее в системе неравенство определяет полуплоскость, лежащую выше этой прямой (). Прямая проходит через начало координат и точку (1;2), соответствующая полуплоскость лежит ниже этой прямой. Наконец, третье неравенство задает полуплоскость, лежащую выше оси OX. Пересечение найденных полуплоскостей изображено на рисунке 2.1. Вершина A образована пересечением прямых и и имеет координаты A(1,0); вершина B образована пересечением прямых и , ее координаты B(1/3; 2/3).

Случай b) отличается добавленным неравенством . Результат построений изображен на рисунке 2.2. В данном случае пересечение всех полуплоскостей – замкнутая область, четырехугольник ABDC. Остается найти координаты вершин. A(1;0) и B(1/3;2/3) уже известны. Точка C – пересечение прямых , , т.е. C(2;0). Аналогично D имеет координаты D(2;4) как точка пересечения прямых , .

2.6. Прямая и плоскость в пространстве. В пространстве уравнение

() (2.13)

задает плоскость, а прямая определяется как пересечение двух плоскостей:

(2.14)

(уравнения (2.14) называются общими уравнениями прямой в пространстве).

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

, (2.15)

а параметрические –

, (2.16)

где, как и ранее, – точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор прямой.

Пример 2.10. Написать параметрические и общие уравнения прямой, проходящей через точки A(-1;2;4) и B(2;5;3).

Решение. В качестве точки, лежащей на плоскости, можно взять любую из заданных; пусть, для определенности, это будет точка A. Направляющим вектором прямой является вектор , координаты которого находятся как разность соответствующих координат конца и начала:

.

Таким образом, и в силу (2.15) параметрические уравнения имеют вид .

Чтобы составить общие уравнения, необходимо из одного из параметрических уравнений выразить t и подставить полученное выражение в оставшиеся уравнения. Например, в данном примере из третьего уравнения получаем t=4-z, и поэтому или окончательно .

Замечание 1. При составлениипараметрического уравнения можно было в качестве направляющего вектора взять , а в качестве лежащей на прямой точки – B.

Замечание 2. При составлении уравнений прямой, проходящей через точки A(x_A;y_A;z_A) и B(x_B;y_B;z_B), можно использовать уравнения вида

.

Дата добавления: 2015-10-30