Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Обчислення довжин дуг кривих ліній.

Читайте также:
  1. Метод екстраполяції на основі кривих зростання економічної динаміки
  2. Методи оцінки параметрів кривих зростання
  3. Наближене обчислення визначених інтегралів.
  4. Обчислення об’ємів тіл.
  5. Обчислення площ плоских фігур.
  6. Обчислення похибки при непрямих вимірюваннях величин

Нехай задано дугу графіка функції , яку будемо вважати

неперервною та неперервно диференційовною на відрізку (рис. 15)

Рис. 15.

 

Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками ділення на частинні:

.

Відмітимо на графіку функції точки з абсцисами відповідно . З’єднаємо їх відрізками прямих ліній. Дістанемо ламану лінію , яку вписано в дугу . Позначимо периметр цієї ламаної через .

Означення. Якщо існує і не залежить від способу вписування ламаної скінченна границя периметра цієї ламаної, коли найбільший її відрізок прямує до нуля, то крива називається спрямною, а величина цієї границі називається довжиною дуги і позначається

. (15.1)

Позначимо , , – довжину відрізка . Очевидно, що

.

За теоремою Лагранжа (див. розділ «Диференціальне числення функцій однієї змінної») на інтервалі існує точка така, що

.

Тоді

,

.

Це є інтегральна сума для функції . Оскільки неперервна, функція також неперервна, і тоді існує границя (15.1):

.

Отже дістали формулу:

. (15.2)

Приклад 1. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи на відрізку (рис. 16)

 

Рис. 16.

 

Маємо: . Отже

.

Приклад 2. Обчислити довжину графіка функції на відрізку .

Маємо: . Отже

.

Якщо криву задано параметрично: , де – неперервно диференційовні на проміжку функції, то:

. (15.3)

Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди, яка має параметричні рівняння:

.

Циклоїда – це лінія, яку описує точка на колі радіуса , яке котиться вздовж прямої лінії. У якості параметра виступає кут поворота кола (рис. 17).

Рис. 17.

За формулою (15.3) маємо:

.

Якщо криву задано у полярній системі координат , де – неперервно диференційовна на функція, то можна довести, що

. (15.4)

Приклад. Обчислити довжину дуги логарифмічної спіралі за умовою (рис. 18).

 

 

Рис. 18.

 

Внаслідок того, що , дістаємо: , отже за формулою (15.4) матимемо:

через те, що . Зауважимо, що інтеграл, який тут виникає – невласний 1-го роду.

 

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 211 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. | Означення та умови існування визначеного інтеграла. | Властивості визначеного інтеграла. | Формула Ньютона–Лейбніца. | Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі. | Невласні інтеграли I роду. | Невласні інтеграли II роду. | Ознаки збіжності невласних інтегралів. I. | Ознаки збіжності невласних інтегралів. II. | Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Обчислення площ плоских фігур.| Обчислення об’ємів тіл.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)