Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегрирование тригонометрических функций

Читайте также:
  1. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
  2. V. Аудит функций маркетинга
  3. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
  4. В то же время, старение тела - это прогрессирую­щий ожог химическими веществами, который приводит к повреждению желез и нарушению их функций, вплоть до их полой дисфункции.
  5. Выборка с группированием данных и вычислением функций агрегации
  6. Дифференцирование неявных функций
  7. ДПДГ В ЛЕЧЕНИИ ПСИХОГЕННЫХ СЕКСУАЛЬНЫХ ДИСФУНКЦИЙ

1. Рассмотрим некоторые типы интегралов от тригонометрических функций.

где m,n –постоянные числа.

Здесь применяются формулы:

 

Примеры.

1.

2.

=

 

Найти интегралы.

59. 60. 61.

 

2. где m,n – любые целые показатели.

Пусть один из показателей – нечетное положительное число, например:

n = 2k+1. Положим sinx=t, тогда cosxdx=dt и

Аналогично, если m=2k+1 (т.е. нечетное), t = cosx и т. д.

Примеры.

1.

Положим sinx = t, тогда cosxdx = dt; получим:

2.

Рекомендация. Если в нечетной степени функция sinx, то обозначать новой переменной следует cosx, а если в нечетной степени cosx, то заменять на sinx.

Если под знаком интеграла стоит произведение четных степеней синуса и косинуса, то, пользуясь формулами:

понижают степени синуса и косинуса и затем интегрируют.

Пример.

=

=

В случае четных степеней часто бывает удобно заменить tg x = t, либо

ctg x = t.

Примеры.

1.

2.

Найти интегралы:


62.

63.

64.

65.

66.


(В №65 помножить числитель и знаменатель на sin x).

3. Интегралы вида где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой универсальной подстановки:

При этом

Что следует из известных тригонометрических формул:

и .

Пример.

.

Найти интегралы:

67. . 68. . 69. .

IV. Интегралы вида можно вычислить, используя подстановку ; при этом , .

Пример

.

Найти интегралы:

70. , 71. .

Заметим, что во многих случаях интеграл от тригонометрической функции может быть вычислен в результате применения подходящих преобразований тригонометрических выражений.

Примеры

1. , где <x< .

Преобразуем подкоренное выражение, используя формулы

, :

.

(Воспользовались тем, что при 0<x< ).

2.

.

Найти интегралы:


72. .

73. .

74. .

75. .

76*. .

77*. .

78*. .


Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: при интегрировании необходимы изобретательность и навыки, приобретаемые практикой решения большого числа примеров.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Получите формулы: XVI. .

XVII. .

2. Можно ли в случае, когда подстановка cosx=t (или tgx=t) приводит к интегралу от рациональной функции, использовать вместо этих замен подстановку ?

3*. Докажите, что одна из преобразованных четной функции есть функция нечетная, а всякая преобразованная нечетная функция есть функция четная. Приведите примеры.

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 112 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Метод введения новой переменной | Метод интегрирования по частям. | Вычисление площадей плоских фигур | Вычисление длины дуги | Вычисление объемов тел вращения | Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики | Использование понятия определенного интеграла в экономике | Квадратурная формула трапеций | Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников | Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интегрирование рациональных функций| Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)