Квадратный трехчлен.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1) . 2) . 3) .

4) . 5) .

6.3. Таблица основных неопределённых интегралов.

1)
. 9) .

2) . 10) .

3) . 11) .

4) . 12) .

5) . 13) .

6) . 14) .

7) . 15) .

8) . 16) .

Основные методы интегрирования.

а) Метод непосредственного интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы 6.3 и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Примеры. Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

Ñ (формула 1 таблицы 6.3) #

Ñ (формула 3 таблицы 6.3) #

Ñ # (формула 15 из таблицы 6.3 и свойство 5 из 6.2)

б)Метод подведения под знак дифференциала.

Напомним, что , если . При интегрировании бывает удобно представить или и.т.д. Это и используется при интегрировании методом подведения под знак дифференциала.

Примеры. Методом подведения под знак дифференциала найти следующие интегралы:

Ñ #

Ñ #

Ñ #

в) Метод замены переменной

Если подынтегральное выражение можно преобразовать к виду , где и , то .

Примеры. Найти следующие интегралы методом замены переменной.

Ñ . Сделаем подстановку .

. #

Ñ . Заменим .

г) Метод интегрирования по частям.

Если и – непрерывно дифференцируемые функции, то имеет место формула: . (4.1.)

К следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании. Формула (4.1) может применяться неоднократно. Интеграл, стоящий справа в (4.1) должен быть проще интеграла, стоящего слева.

Примеры. Следующие интегралы найти интегрированием по частям:

Ñ #

Ñ = #

Ñ

=

Получили уравнение относительно . Решая его, будем иметь:

.

Интегралы такого типа называют циклическими.#

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы методом непосредственного интегрирования.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. .

Найти интегралы методом подведения под знак дифференциала.

13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. . 21. 22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. . 28. .

29. .30. . 31. . 32. . 33. .

34. . 35. . 36. . 37. . 38. .

39. . 40. .

Найти интегралы методом замены переменной.

41. . 42. . 43. . 44. . 45. . 46. . 47. .

Найти интегралы методом интегрирования по частям.

48. . 49. . 50. . 51. . 52. . 53. . 54. . 55. . 56. .

57. . 58. . 59. . 60.

Интегрирование простейших функций, содержащих

квадратный трехчлен.

а) Интегралы вида и (5.1)

сводятся к табличным 13-16 после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.

Пример. Найти интеграл .

Ñ =

=

= . #

б) Интегралы вида и . (5.2)

При интегрировании таких функций сначала в числителе создаётся дифференциал квадратного трехчлена: . Числитель преобразуется следующим образом:

.

После этого данный интеграл по свойству 5 раздела 6.2. разбивается на два: , первый из которых берётся по

формуле 2 таблицы 6.3, а второй – интеграл (5.1), рассмотренный раньше. Аналогично берётся и второй интеграл из (5.2)

Пример. Найти интеграл .

Ñ

.#

в) Интегралы вида . (5.3)

Эти интегралы приводятся к интегралам (5.2) подстановкой .

Пример. Найти интеграл .

Ñ

. #

Дата добавления: 2015-10-30