Основные свойства неопределенного интеграла.

Первообразная. Таблица интегралов.

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскивании производной или дифференциала заданной функции (y= ¦ ( x ) Þ ). Рассмотрим обратную задачу. По заданной функции ¦ ( x ) восстановить такую функцию, F ( x ), для которой ¦ ( x ) была бы производной, т.е. . Такую функцию F(x) принято называть первообразной для ¦(x).

Определение:

Функция F(x) называется первообразной (или примитивной) для функции ¦(x) на некотором множестве X, если "xÎX (для всех, значений) из этого множества выполняется равенство .

Пример:

Функция sinx является первообразной для функции cosx на всей оси OX, т.к. "xÎR мы будем иметь .

Из этого примера важно заметить, что первообразной для функции cosx является не только sinx, но и функция sinx+C, где C – любая постоянная, т.к. . Указанное обстоятельство справедливо для любой функции ¦(x) имеющей первообразную.

Именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1:

Пусть F(x) – какая-нибудь первообразная для функции ¦(x) на некотором множестве X, тогда функция F(x)+C, где C – любая постоянная, также будет первообразной для ¦(x).

Обратно:

Всякая первообразная для ¦(x) на множестве X может быть представлена в виде F(x)+C.

Доказательство:

Т.к производная от производной постоянной равна нулю, то , т.е. наряду с F(x) функция F(x)+C есть также первообразная для ¦(x).

Покажем, теперь, что любая первообразная для ¦(x) представима в виде F(x)+C.

В самом деле, пусть Ф(x) – произвольная первообразная для¦(x) на данном множестве X, так что на X , значит функция Ф(x) и F(x) на множестве X имеют одну и ту же производную, тождественно равную 0, т.е.

Как известно из условия к теореме Лагранжа (иногда ее называют теоремой о постоянстве функции) следует, что Ф(x)-F(x)= Þ Ф(x)=F(x)+ , т.о., первообразная Ф(x) получается из выражения F(x)+C, подлежащим выбором произвольной постоянной C= .

Определение 2:

Совокупность всех первообразных для функции ¦(x) называется неопределенным интегралом от функции ¦(x) и обозначается символом .

Итак, по определению .

В силу установившейся традиции равенство  без явного обозначения множества справа, т.е. вида , при этом C называется произвольной постоянной.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

1) действие из самого определения определенного интеграла.
.

Доказательство 2), 3), 4) аналогично (дать самостоятельно).

Таблица основных интегралов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5.

6. , в частности

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Дата добавления: 2015-10-30