Дополнительные задачи.

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти

а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , у = | x + 1| –2.

7. Найти длину кривой, заданной параметрически .

8. Найти объем тора, образованного вращением вокруг оси ОУ круга
(х – а)² + у ² = с ², а ³ с.

9. Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг начала координат со скоростью v = v ₀cosw t. Найти закон колебания точки, если при t = 0 она имела абсциссу х = 0. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости точки за период колебания?

Ответы. Часть 1. 1.а) нет, б) нет, в) да. 2. 2 . 3. а) ; б)

4. , .

5. а)1,75; б) 9,75, в) г) ln2+3π/4; д) , е) ; ж) -2/9; з)(2 е ³+1)/9.

6. π²/12+7π/36+0,5 7. а) расходится; б) ln(π./2).

Часть 2. 1. а) 4,5; б) π а ²/4. 2. а) ; б) . 3.3π/10. 4. 3π/4+0,5. 5. ρ а ⁴/12.

6. е_ое (а^{– 1}– b ^–1).

Вариант 6

Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку:

а) , б) , в)

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если g(х)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) , б) , в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) , k ÎZ.

6. Вычислить , если f (x) = .

7. Вычислять интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) , х = 0, х = 2, y = 0 б) , .

2. а) Найти длину дуги полукубической параболы , отсекаемой прямой х =2 р; б) Найти длину одной арки циклоиды .

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями и осью OY.

4. Скорость точки изменяется по закону м/с. Каково наибольшее удаление точки от начала движения?

5. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой 70 м, нижнее 50 м, высота 20 м.

6. Найти работу, затраченную на выкачивание воды из полушара радиуса R м.

Дата добавления: 2015-10-30