Фізичні задачі, які приводять до інтегральних рівнянь

Основні поняття та класифікація інтегральних рівнянь

Інтегральним рівнянням називається рівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла.

Наприклад

, () (1.1)

або

. (1.2)

Тут і – задані функції, а – шуканий розв’язок. Функція називається ядром інтегрального рівняння, – параметр.

Класифікація інтегральних рівнянь

В даному курсі вивчаються тільки лінійні інтегральні рівняння, коли шукана функція входить у рівняння лінійно. Вони класифікуються наступним чином:

1. а) якщо шукана функція міститься тільки під знаком інтеграла, то рівняння називається інтегральним рівнянням першого роду. Такими рівняннями є рівняння вигляду

(1.3)

або

; (1.4)

б) якщо шукана функція міститься також і поза знаком інтеграла (див., наприклад, (1.1) і (1.2)), то рівняння називається інтегральним рівнянням другого роду.

2. а) якщо межі інтегрування фіксовані, то інтегральне рівняння називається рівнянням Фредгольма (випадки (1.1) і (1.3));

б) якщо ж межі інтегрування змінні (випадки (1.2) і (1.4)), то інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра.

3. Рівняння (1.1)-(1.4) називаються однорідними, якщо і неоднорідними при .

Зведення диференціальних рівнянь до інтегральних

Інтегральні рівняння можна отримати з диференціальних.

1. Нехай задано задачу Коші для диференціального рівняння 1-го порядку:

. (1.5а)

(1.5б)

Звідси або

. (1.6)

Це нелінійне інтегральне рівняння.

2. Нехай задано задачу Коші для лінійного неоднорідного диференціального рівняння n -го порядку:

, (1.7а)

. (1.7б)

Покладемо

, (1.8)

де – нова невідома функція. Диференціюючи цей вираз n раз, маємо

(),

.

Підставляючи останні вирази для в ліву частину рівняння (1.7a), отримаємо

, (1.9)

де . Таким чином, задача (1.7) звелася до розв’язування інтегрального рівняння Вольтерра 2-го роду (1.9). Визначивши з (1.9) функцію , знаходимо згідно (1.8).

Фізичні задачі, які приводять до інтегральних рівнянь

1. До рівняння Вольтерра 1-го роду приводить задача визначення потенціальної енергії поля в якому частинка здійснює коливальний рух за відомою залежністю періоду коливань частинки від її енергії. Нехай – потенціальна енергія, яка вважається парною, монотонно зростаючою при функцією, Е – енергія частинки, а m – її маса. Тоді за законом збереження енергії . Інтегруємо це рівняння, відокремлюючи змінні: . Звідси , . Нехай , тоді період коливань буде , де корінь рівняння .

, . Тоді

. (1.10)

Нехай функція невідома, але відома залежність для деякого інтервалу енергій Е. Тоді задача знаходження функції зводиться до розв’язування інтегрального рівняння Вольтерра 1-го роду (1.10) відносно функції . Визначивши , знаходимо залежність з рівняння , .

2. Рівняння Вольтерра 2-го роду типові при описанні фізичних процесів, пов’язаних з явищами після дії, наприклад, коливальний контур.

3. Рівняння Фредгольма 1-го роду є типовими при математичній обробці даних експерименту в задачі відновлення розмитого зображення.

4. До рівнянь Фредгольма 2-го роду приволять задачі про коливання струни під дією зовнішньої сили.

Дата добавления: 2015-10-30