Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегрирование с помощью замены переменной

Читайте также:
  1. Ferrite calibration калибровка катушки с помощью феррита.
  2. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
  3. IP адресация. Правила использования адресов. Маски переменной длины. Пример разбиения на подсети с маской переменной длины.
  4. Q: Оператор (statement) присваивания, который используется для присваивания результата выражения переменной имеет
  5. V1: Управление запасами и складскими процессами с помощью логистики
  6. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
  7. XVII. Укажите номера предложений в которых –ing-форма переводится на русский язык с помощью слова «будучи» и страдательного причастия.

Полагая , где t – новая переменная и – непрерывная функция, дифференцируемая в области определения, будем иметь:

. (2.1.1)

Пример 2.1.1. Вычислить .

Решение.

.

 

Пример 2.1.2. Найти .

Решение.

.

 

Пример 2.1.3. Найти .

Решение.

.

 

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям: Если и - дифференцируемые функции, то:

. (2.2.1)

Умение разбить подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения. Но можно указать основные типы интегралов, к которым применима формула интегрирования по частям.

Если подынтегральное выражение имеет вид

1. рекомендуется обозначать: =

 

2. рекомендуется обозначать =

 

3. – любая из функций, но здесь обязательно требуется двукратное интегрирование по частям.

Пример 2.2.1. Найти .

Решение.

.

 

Пример 2.2.2. Найти .

Решение.

.

 

Пример 2.2.3. Найти .

Решение.

.

Пример 2.2.4. Найти .

Решение.

.

Приравняем начальное и конечное выражения:

.

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью (функцией) называется дробь вида , где и многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Если рациональная дробь неправильная, то путем почленного деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов (или с помощью алгебраических преобразований) следует выделить целую часть и неправильную рациональную дробь представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.

Поэтому будем рассматривать интегрирование правильных рациональных дробей, поскольку интегрирование целой части не вызывает затруднений.

Простые (правильные) рациональные дроби рассмотрим четырех типов:

, ; ; ,

где - действие числа; квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, поэтому на множители не может быть разложен.

Рассмотрим интегрирование дробей каждого вида.

;

.

Пример 2.3.1. Найти .

Решение. .

 

Пример 2.3.2. Найти .

Решение. .

Пример 2.3.3. Найти .

Решение. .

Пример 2.3.4. Найти .

Решение. = .


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 115 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И | Интегрирование тригонометрических функций | Интегрирование некоторых иррациональных | Метод непосредственного интегрирования | Метод замены переменной | Метод интегрирования по частям | Интегрирование рациональных дробей | Интегрирование иррациональных функций |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Свойства неопределенного интеграла| Метода неопре­деленных коэффициентов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)