Визначення імпульсів в опорах тіла, що зазнало удару

Явище удару для тіла, яке обертається навколо нерухомої осі виникає досить часто:

– при несподіваних зупинках;

– при зміні тиску на поршень двигуна внутрішнього згорання;

– при випробуваннях на міцність тіла за допомогою ударних машин;

– в балістичних маятниках і ін.

Постановка задачі. Маємо тіло відомої форми, масою m, яке обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі. В деякий момент часу тіло зазнає дії зовнішнього ударного імпульсу тривалістю τ сек.. Позначимо: після удару кутову швидкість тіла ; точку, в якій прикладений імпульс точка Е (рисунок 4). Як відомо, при ударі дією неударних сил нехтуємо. Розглянемо випадок, коли вісь обертання не проходить через точку С . Під час удару в опорах А і В виникнуть імпульси реакцій . (Згадаємо, що є мірою взаємодії тіл при ударі? – Імпульс сили, а не сила).

Мета: визначити умови, при яких імпульси в опорах дорівнюють нулеві.

Виберемо осі координат: z – вісь обертання, у – проведемо через точку Е (рисунок 4). Щоб визначити імпульси реакцій в опорах, скористаємось загальними теоремами динаміки. Згадаємо, які теореми застосовуються в теорії удару (див. тему 3, тему 4)

– Теорема імпульсів

– Теорема про зміну кінетичного моменту.

В нашому випадку маємо ці теореми

(15)

, (16)

де - кількість руху тіла після удару і до удару, відповідно - момент кількості руху тіла відносно точки О після удару та до удару, відповідно.

Спроеціювавши (15) і (16) на осі координат, можна отримати рівняння для визначення імпульсів в опорах . Цього ми робити не будемо, а поставимо умову відсутності опорних імпульсів: . Згадаємо (тема 3), чому дорівнює кількість руху тіла . Визначимо проекції кількості руху на осі координат , , , (бо лежить в площині, перпендикулярній до осі Оz). Проекції швидкості точки С на осі координат знайдемо за формулою Ейлера, розкривши визначник

.

Тобто, маємо (17)

Згадаємо (тема 4), чому дорівнюють кінетичні моменти відносно осей координат тіла, що обертається навколо нерухомої осі Оz з кутовою швидкістю:

. (18)

Проекції (15) і (16) на осі координат, з врахуванням (17) і (18) і того, що імпульси в опорах дорівнюють нулеві мають вигляд:

(19)

В цих рівняннях відсутні опорні імпульси , тобто це є умови, при яких імпульси в опорах не виникають. Розглянемо висновки з цих рівнянь.

1) З (19.3), (19.4), (19.5) слідує, що , тобто ударний імпульс повинний лежати в горизонтальній площині, а вісь Оz – головна вісь.

2) Якщо домножити (19.1) на х_С, а (19.2) на у_С і скласти результати, отримаємо , тобто скалярний добуток вектора і радіуса-вектора точки С дорівнює нулеві , значить кут між дорівнює 90 º.

3) Щоб визначити відстань ОЕ треба поділити (19.6) на (19.1)

. (20)

Висновок. Умови відсутності імпульсів в опорах А і В:

1) Площина Оху, в якій повинний лежати ударний імпульс, перетинається з віссю z в точці О, для якої ця вісь є головною.

2) Лінія дії ударного імпульсу перпендикулярна до площини, в якій лежать вісь обертання і центр мас тіла.

3) Ударний імпульс треба прикласти в точці Е, положення якої визначається формулою (20). Точка Е зветься центром удару.

Зауваження

1) Якщо тіло має площину матеріальної симетрії, яка перпендикулярна осі обертання (що на практиці буває досить часто), тоді вісь z – завжди головна в точці О.

2) Існує зв’язок між радіусом інерції тіла відносно осі z і центром удару. Покажемо площину матеріальної симетрії на рисунку 5. Згідно з (20) маємо

, тоді (21)

До речі, центр удару і центр хитань фізичного маятника – це одна й та сама точка.

3) Якщо вісь обертання проходить через центр мас (у_С = 0 в формулі (20)), тоді центру удару не існує. Це означає, що в цьому випадку опорні імпульси завжди є, тобто удар завжди передається на опори.

ДОДАТОК 1

Таблиця 1 – Зведення сил інерції точок тіла до головного вектора та

головного моменту

№ п/п	Вид руху	Головний вектор, головний момент
	Поступальний
	Обертальний навколо осі z, перпендикулярної до площини симетрії	Вісь Оz
Вісь Сz
	Плоский в площині ху, паралельно площині симетрії
	Інші рухи. т.О – центр зведення

ДОДАТОК 2

Алгоритм визначення реакцій в’язей в “Динаміці” для

практичних моделей за допомогою принципу Д’Аламбера

Дата добавления: 2015-10-29