Фазові портрети нелінійних систем

Нелінійні системи можуть мати декілька положень рівноваги (особливих точок) і характеризуються більшим різномаїттям фазових портретів. Якщо праві частини нелінійних рівнянь допускають лінеаризацію в околі особливих точок, то ці особливі точки можуть бути лише тих самих типів, що й особливі точки у випадку лінійних систем.

При наявності декількох точок рівноваги можливі різні типи фазових траекторій. Особливі криві, що розділяють фазову площину на області з різними типами фазових траекторій, називаються сепаратрисами.

Фазові портрети нелінійних систем можуть мати інший тип особливої кривої – ізольовані замкнуті траекторії. Ці криві називаються граничними циклами. Якщо зсередини та зовні фазові траекторії сходяться до граничного циклу (рис. 1.3*,а), то такий граничний цикл називається стійким граничним циклом. Стійкому граничному циклу відповідає асимптотично орбітально стійкий періодичний рух (автоколивання). В системі, у якої фазовий портрет має вигляд, представлений на рис. 1.3*,а, автоколивання виникають самовільно при будь-яких початкових умовах.

Рис. 1.3*. Граничні цикли

Якщо фазові траекторії зсередини та зовні граничного цикла віддаляються від нього (рис. 1.3*,б), такий граничний цикл називається нестійким граничним циклом. Періодичний процес що відповідає нестійкому граничному циклу неможливо спостерігати. Якщо рух починається всередині такого граничного цикла, то процес зходиться до положення рівноваги. Якщо рухпочинається зовні такого граничного циклу, то процес розходиться. Нестійкий граничний цикл є границею області притягання, або границею стійкості положення рівноваги (початку координат).

Можливі два граничні цикли (рис. 1.3*,в,г). Внутрішній граничний цикл на рис. 1.3*,в стійкий, і йому відповідають автоколивання, а зовнішній граничний цикл нестійкий і є границею області автоколивань: автоколивання виникають при будь-яких початкових відхиленнях, що не виходять за зовнішній граничний цикл.

Зовнішній граничний цикл на рис. 1.3*,г є стійким і відповідає автоколиванням, а внутрішній граничний цикл є нестійким і є границею області притягання положення рівноваги. В системі з таким фазовим портретом автоколивання виникають при досить значному відхиленні системи від положення рівноваги – відхиленні, яке виходить за межі внутрішнього граничного цикла. Якщо рух системи починається всередині нестійкого граничного цикла, то вона наближається до положення рівноваги.

Дата добавления: 2015-10-29