Спектральні щільності випадкових процесів

Під час дослідження автоматичних систем керування користуються ще однією характеристикою стаціонарного випадкового процесу – спектральною щільністю S_x(w), яка у багатьох випадках є більш зручною, ніж кореляційна функція.

Термін “спектральна щільність” походить з теорії електричних коливань. Фізичний зміст спектральної щільності полягає в тому, що вона характеризує розподіл потужності сигналу за частотним спектром (кожна елементарна потужність, яка відповідає нескінченно малій ділянці спектра від w до w + dw, пропорційна значенню функції S_x(w) для даної частоти w). Спектральну щільність можна визначити експериментально через середню величину квадрата амплітуди гармонік реалізації випадкового процесу. Прибори, що застосовують для цього, називаються спектрометрами.

Аналітично спектральна щільність S_x(w) випадкового процесу X(t) визначається як перетворення Фур’є кореляційної функції R_x(t): (2.38) За допомогою формули Ейлера вираз (2.38) можна подати у вигляді:

(2.39)

Оскільки - непарна функція t, то другий інтеграл у виразі (2.39) дорівнює нулю. Тоді з урахуванням, що - парна функція t, отримаємо:

(2.40)

Оскільки , то з (2.40) випливає:

S_x(w) = S_x(-w). (2.41)

Таким чином, спектральна щільність S_x(w) є дійсною і парною функцією частоти w, тому графік цієї функції завжди симетричний відносно осі ординат.

Якщо спектральна щільність відома, то за формулою оберненого перетворення Фур’є можна знайти відповідну кореляційну функцію:

(2.42)

З урахуванням (2.25) і (2.42) можна встановити важливий зв’язок між дисперсією D_x і спектральною щільністю S_x(w) випадкового процесу:

(2.43)

Взаємну спектральну щільність S_xg(jw) двох стаціонарних випадкових процесів X(t) і G(t) визначають як перетворення Фур’є від взаємної кореляційної функції R_xg(t):

(2.44)

Взаємна спектральна щільність S_xg(jw) є мірою статистичного зв’язку між двома стаціонарними випадковими процесами X(t) і G(t). Якщо ці процеси некорельовані й мають рівні нулю середні значення, то взаємна спектральна щільність дорівнює нулю, тобто S_xg(jw)=0.

На відміну від спектральної щільності S_x(w) взаємна спектральна щільність не є парною функцією w і являє собою не дійсну, а комплексну функцію.

Розглянемо без доказу деякі властивості спектральної щільності S_x(w).

1. Спектральна щільність білого шуму є постійною на всьому діапазоні частот (рис. 2.1, г): S_x(w) = N = const. (2.45)

Це означає, що енергія білого шуму розподілена за всім спектром рівномірно, а сумарна енергія процесу дорівнює нескінченності, що фізично неможливо. Тобто білий шум є математичною ідеалізацією реального процесу. Походження терміну “білий шум” пояснюється аналогією такого процесу з білим світлом, що має однакові інтенсивності всіх компонент.

2. Спектральна щільність постійного сигналу x(t) = A₀ являє собою d-функцію, що розташована на початку координат (рис. 2.1, а):

S_x(w) = 2pA₀²d(w). (2.46)

Фізично це означає, що вся потужність постійного сигналу зосереджена на нульовій частоті.

3. Спектральна щільність періодичного сигналу x(t)=Asin(w₁t+j) являє собою дві d-функції, що розташовані симетрично відносно початку координат при w = w₁ і w = -w₁ (рис. 2.1, д):

. (2.47)

Це означає, що вся потужність періодичного сигналу зосереджена на двох частотах: w₁ і -w₁ (для зони додатних частот уся потужність періодичного сигналу зосереджена на одні частоті w₁).

4. Спектральна щільність часової функції, що розкладається у ряд Фур’є має вигляд:

. (2.48)

Цій спектральній щільності відповідає лінійчатий спектр (рис. 2.2) із d-функціями, що розташовані на додатних і від’ємних частотах гармонік (d-функції умовно зображені так, що їх висоти показані пропорційними коефіцієнтам при одиничній d-функції, тобто величинам .

5. Спектральна щільність випадкового процесу, що не містить періодичну складову, являє собою графік без чітко виражених піків (рис. 2.1, б, в). У цьому випадку спектральна щільність апроксимується аналітичним виразом:

S_x(w)=2D_xa/(a²+w²)= =2D_xT_x/(1+w² T_x²), (2.49)

де D_x – дисперсія; a = const – параметр затухання; Т_х = 1/a - сталий коефіцієнт.

Іноді розглядають нормовану спектральну щільність b_х(w), яка має розмірність часу:

b_х(w) = S_x(w)/D_x.

Дата добавления: 2015-10-29