Поиск Решения. Теперь нам нужно найти интерполированную поверхность B-spline степени (p,q)

Теперь нам нужно найти интерполированную поверхность B-spline степени (p, q). Так как у нас есть узловые векторы, параметры, степени и исходные точки, то единственная недостающая часть - это (m +1)×(n +1) контр. точек.

Пусть дана такая поверхность B-spline:

Так как она содержит все исходные точки и так как параметры s_c и t_d соответствуют исходной точке d _cd, то, подставив u = s_c и v = t_d в уравнение поверхности, получим:

Так как N_i,p (s_c) не зависит от индекса j, то можно вынести этот член из суммирования по j:

Если рассмотреть внутреннее выражение, то видно, что индекс i есть только в p _ij. Таким образом, можно взять для удобства новое обозначение:

Говоря точнее, если i фиксирована в одном и том же значении, то q _id - это точка, вычисленная для t_d, на кривой B-spline степени q, определенной по n +1 "неизвестным" контр. точкам i -го ряда из p (т.e. p _{i 0}, p _{i 1},..., p _in). Подставляя q _id в вышеуказанное уравнение d _cd, получим

Таким образом, исходная точка d _cd - это точка, вычисленная для s_c, кривой B-spline степени p, определенной по m +1 "неизвестным" контр. точкам столбца d из q (т.e., q _{0 d}, q _{0 d},..., q _md). Повторяя это для каждого c (0 <= c <= m), получим d -й столбец исходных точек (т.e. d _{0 d}, d _{1 d},..., d _md) из d -го столбца q (т.e. q _{0 d}, q _{1 d},..., q _md) и параметров s ₀, s ₁,..., s_m. Так как исходные точки d _{0 d}, d _{1 d},..., d _md, степень p и параметры s ₀, s ₁,..., s_m известны, то это уравнение обозначает

Найти d -й столбец контр. точек q_{0 d}, q_{1 d},..., q _md по данным: степени p, параметрам s ₀, s ₁,..., s_m и d -му столбцу исходных точек.

Получается, это задача интерполяции кривой! То есть, можно применить глобальную интерполяцию кривой к каждому столбцу исходных точек, чтобы получить столбцы контр. точек q _cd. Так как имеется n +1 столбцов исходных точек, то получим n +1 столбцов q.

Теперь, мы можем использовать ту же самую идею, но применять ее к уравнению q _id, которое показано еще раз ниже. В этом уравнении, исходные точки ряда i из q (т.e. q _{i 0}, q _{i 1},..., q _in)- это точки на кривой B-spline, вычисленные для t ₀, t ₁,..., t_n, степени q, определенной по n +1 неизвестным контр. точкам p _{i 0}, p _{i 1},..., p _in. Таким образом, применяя интерполяцию кривой со степенью q и параметрами t ₀, t ₁,..., t_n к ряду i из q, получим i ряд искомых контр. точек!

Когда найдем все ряды контр. точек, то эти контр. точки, вместе с двумя узловыми векторами и степенями p и q, определят интерполированную поверхность B-spline степени (p, q) для данных исходных точек. Таким образом, интерполяция поверхности B-spline состоит из (m +1) + (n +1) интерполяций кривой! Вот обобщение всех необходимых шагов:

Дата добавления: 2015-10-29