Пример 2: Введение Узла в Существующем Простом Узле

Пусть имеем такой узловой вектор:

u 0 - u 4	u 5	u 6	u 7	u 8	u 9	u 10	u 11	u 12 - u 16
	0.125	0.25	0.375	0.5	0.625	0.75	0.875

Нам нужно ввести новый узел t = 0.5, который равняется существующему (т.e. t = u ₈ = 0.5). Вот кривая B-spline 4 степени и ее базисные функции до введения нового узла t.

Так как t находится на [ u ₈, u ₉), то зависящие точки - это p ₈, p ₇, p ₆, p ₅ и p ₄. Коэффициенты вычисляем так:

a ₈ = (t - u ₈) / (u ₁₂ - u ₈) = (0.5 - 0.5) / (1 - 0.875) = 0
a ₇ = (t - u ₇) / (u ₁₁ - u ₇) = (0.5 - 0.375) / (0.875 - 0.375) = 1/4
a ₆ = (t - u ₆) / (u ₁₀ - u ₆) = (0.5 - 0.25) / (0.75 - 0.25) = 1/2
a ₅ = (t - u ₅) / (u ₉ - u ₅) = (0.5 - 0.125) / (0.625 - 0.125) = 3/4

Новые контр. точки - это

q ₈ = (1 - 0) p ₇ + 0 p ₈
q ₇ = (1 - 1/4) p ₆ + (1/4) p ₇
q ₆ = (1 - 1/2) p ₅ + (1/2) p ₆
q ₅ = (1 - 3/4) p ₄ + (3/4) p ₅

Новая контр. точка q ₈ равна исходой контр. точке p ₇. Фактически, если t равняется узлу, скажем, u_k, то

a_k = (t - u_k) / (u_k+p - u_k) = 0

Следовательно, имеем

q _k = (1 - 0) p _{k -1} + 0 p _k = p _{k -1}

То есть, если новый узел t, который должен быть введен, равняется существующему простому узлу u_k, то q _k, последняя новая контр. точка, равняется p _{k -1}. Следующая диаграмма показывает схему вычислений:

На рисунке в начале этого примера новые контр. точки и новая контр. ломаная показаны оранжевым цветом. Пожалуйста, заметьте, новые контр. точки - это p ₀, p ₁, p ₂, p ₃, p ₄, q ₅, q ₆, q ₇, q ₈ = p ₇, p ₈, p ₉, p ₁₀ и p ₁₁. Кривая и ее базисные функции после введения нового узла t = 0.5 показана ниже.

Соотношения между значениями a_j, u_j и t показаны ниже:

Пример 3: Введение Узла в Существующем Множественном Узле

А что, если новый узел t вводится в монжественный узел? Пусть t вводится в узел u_k множественности s. Таким образом, имеем s последовательных одинаковых узлов: u_k = u_{k -1} = u_{k -2} =.... = u_{k-s +1} и u_{k-s +1}, не равный u_k-s. В вычислении коэффициентов a_k,...., a_{k-p +1}, имеем следующее:

a_k = (t - u_k) / (u_k+p - u_k) = (u_k - u_k) / (u_k+p - u_k) = 0
a_{k -1} = (t - u_{k -1}) / (u_{k+p -1} - u_{k -1}) = (u_k - u_{k -1}) / (u_{k+p -1} - u_{k -1}) = 0
..........
a_{k-s +1} = (t - u_{k-s +1}) / (u_{k-s +1+ p} - u_{k-s +1}) = (u_k - u_{k-s +1}) / = 0

Отсюда, коэффициенты a_k,...., a_{k-p +1} все равны нулю и, следовательно, имеем

q _k = (1 - a_k) p _{k -1} + a_k p _k = p _{k -1}
q _{k -1} = (1 - a_{k -1}) p _{k -2} + a_{k -1} p _{k -1} = p _{k -2}
..........
q _k-s = (1 - a_{k-s +1}) p _k-s + a_{k-s +1} p _k-s = p _k-s

Это показывает, что, если новый узел t вводится в существующий узел u_k множественности s, то последние s новых контр. точек, q _k, q _{k -1},..., q _{k-s +1} равны исходным контр. точкам p _{k -1}, p _{k -2},..., p _k-s. Если s = 1 (т.e. это простой узел), q _k равно p _{k -1}, что как раз и обсуждалось во 2 примере. Если s = 0 (т.e. t не является узлом), то все контр. точки от p _k-p до p _k являются зависимыми [involved]. Это случай из 1 Примера. Следующая диаграмма показывает схему вычислений:

Дата добавления: 2015-10-29