Углубленное Рассуждение

Раасмотрим пристальнее влияние изменения веса выбранной контр. точки. Давайте вернемся к определению кривой NURBS:

Выберем контр. точку p _k и исследуем влияние изменения w_k. Так как p _k может влиять на кривую p (u) только на ненулевой области ее коэффициента N_k,p (u) (т.e. [ u_k, u_{k+p +1})), то далее примем, что u лежит на [ u_k, u_{k+p +1}).

Вынесем члены с w_k из суммирования, получим:

Так как это уравнение довольно сложное, упростим его следующим способом:

Теперь уравнение стало таким легкочитаемым:

Сначала возьмем случай w_k = 0. Имеем A = 0, и точка на кривой, обозначается как p ⁰(u), равна

Теперь давайте вычислим вектор из этой "базисной" точки p ⁰(u) в соответствующую ей точку p (u) для произвольного w_k. После простых преобразований имеем следующее:

Что это значит? Это значит, что вектор p (u)- p ⁰(u) и вектор p _k - p ⁰(u) имеют одно направление, а длина первого в A /(A + B) больше, чем длина последнего для каждого u на [ u_k, u_{k+p +1})! Так как точки p _k и p ⁰(u) фиксированы, то можно сказать, что p (u) лежит на прямой от p _k до p ⁰(u). Более того, если все весы неотрицательны, то и A, и B неотрицательны и значение A /(A + B) лежит между 0 и 1! То есть, точка p (u) лежит на отрезке между p _k и p ⁰(u).

Что, если w_k достигает бесконечности? Давайте поделим числитель и знаменателm кривой p (u) на w_k, как показано ниже.

Если w_k уходит в бесконечность, 1/ w_k становится нулем. Отсюда, если w_k достигает бесконечности, то p (u) достигает p _k, выбранной контр. точки. Вот итог сказанного:

Если w_k неотрицательно, то p(u) всегда лежит на отрезке между p⁰(u) и p _k, где p⁰(u) - это точка, соответствующая w_k = 0, а u лежит на [ u_k, u_{k+p +1}). Более того, когда w_k изменяется от 0 до бесконечности, p(u) двигается от p⁰(u) к p _k, а если w_k - бесконечность, то p(u) становится p _k.

Следующий рисунок иллюстрирует этот результат. Имеем кривую NURBS 6 степени, определенную по 9 контр. точкам (n = 8) и 16 узлам (m = 15), как показано ниже.

u 0 = u 1 = u 2 = u 3 = u 4 = u 5 = u 6	u 7	u 8	u 9 = u 10 = u 11 = u 12 = u 13 = u 14 = u 15
	1/3	2/3

Выбранная контр. точка - это p ₄. Так как коэффициент при p ₄, N _4,6(u), не рваен нулю на [ u ₄, u ₄₊₆₊₁) = [0,1), то изменение w ₄ влияет на кривую целиком!

Точки, соответствующие u = 1/3 и u = 2/3 обозначены на кривой разными цветами. Кривая, соответствующая w ₄ = 0 - самая нижняя, обозначена 0. Риснуок показывает кривые для w ₄, равного 2, 3, 4, 5, 10, 20 и 50. При увеличении значения w ₄ кривая пододвигается ближе к контр. точке p ₄. Когда w ₄ увеличивается до 50, кривая становится очень близко к p ₄. Пожалуйста, заметьте, что все точки, соовтетствующие p (1/3) находятся на отрезке прямой между точками p ⁰(1/3) и p ₄, а все точки, соответствующие p (2/3) - на отрезке прямой между p ⁰(2/3) и p ₄. Также заметьте, что отрезок кривой между точками p (1/3) и p (2/3) становится короче при увеличении значения w ₄. В конце концов длина этого криволинейного отрезка становится равной нулю (т.e. p (1/3) и p (2/3) становится равно p ₄), когда w ₄ равно бесконечности. Можете ли вы обобщить это наблюдение?

Дата добавления: 2015-10-29