Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Некоторые Полезные Следствия Свойства Сильного Ограничивающего Многоугольника

Читайте также:
  1. A. электроноакцепторными свойствами атома азота
  2. IV ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА ПРОДУКТОВ
  3. V1: Понятие логистики. Сущность и свойства логистической системы
  4. XI. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА. СПОСОБНОСТИ И ДАРОВАНИЯ АРТИСТА
  5. Анализ, оценка степени риска и последствия риска
  6. Антропогенная деградация почв, причины, последствия и меры предупреждения.
  7. Ая основа – Хаджури назвал некоторые действия посланника Аллаха ошибкой, и сказал, что посланник Аллаха ошибся в средствах призыва.

Вспомним из свойства сильного ограничивающего многоугольника, что, если u лежит на [ ui, ui +1), то p (u) лежит в ограничивающем многоугольнике, описываемом контр. точками p i, p i -1,..., p i-p +1, p i-p. Это поможет нам решить следующие задачи в проектировании кривых:

  1. Сделаем криволинейный отрезок отрезком прямой: пусть p +1 контр. точек будут коллинеарными
    Если u лежит на узлово интервале [ ui, ui +1), то p (u) лежит внутри ограничивающего многоугольника для p +1 контрольных точек p i, p i -1,..., p i-p +1, p i-p. Так как это верно для всех u на этом интервале, то отрезок кривой, находящийся на этом узловом интервале, лежит целиком в этом оганичивающем многоугольнике. Все эти p +1 контрольных точек являются коллинеарными (т.e. лежат на одной прямой), ограничивающий многоугольник вырождается в отрезок прямой, то же самое. происходит и с содержащимся в нем отрезком кривой. В итоге, отрезок кривой на узловом интервале [ ui, ui +1) становится отрезком прямой. Заметьте, что в этом случае отрезком прямой становится только этот отрезок кривой. Остальные отрезки остаются криволинейными.

А вот вам и пример. На рисунках изображены кривые, для которых n = 15 (т.e. 16 контр. точек), p = 3 (степень равна 3), а m = 19 (т.e. 20 узлов). Заметьте, что первые четыре и последние четыре фиксированы. На рисунке слева в верхнем ряду исходная кривая. Давайте-ка сделаем p 9, p 8, p 7 и p 6 колинеарными. Таким образом, отрезок кривой [ u 9, u 10) лежит внутри огр. многоугольника точек p 9, p 8, p 7 и p 6. Так как этот многоугольник является отрезком прямой, то криволинейный отрезок также становится линейным. Но надо помнить, что первые четыре узла фиксированы и поэтому первых трех узловых интервалов нет. Так как [ u 9, u 10) - это седмой узловой интервал, седьмой сегмент вырождается в отрезок прямой p 7 p 8. Это показано на втором, третьем и четвертом рисунках.

Но почему вырождается только отрезок кривой на [ u 9, u 10)? Взгляните на второй рисунок. Темная область - это огранич. многоугольник прямо перед вхождением u в [ u 9, u 10). Этот огранич. многоугольник образуется точками p 8, p 7, p 6 и p 5, и еще не является отрезком прямой. Как только u входит в [ u 9, u 10), отрезок кривой вырождается (третий рисунок). Сразу после того, как u выходит из [ u 9, u 10), появляется новый огранич. многоугольник (четвертый рисунок).

На пятом рисунке p 5 коллинеарна со следующими за ней четырьмя точками. На этой кривой еще один линейный отрезок. На шестом рисунке p 10 коллинеарна с предшествующими ей пятью точками; тем не менее, она перемещена в положение между p 8 и p 9. Это должно сделать часть соответствующего отрезка кривой линейным (почему?)

  1. Сделаем так, чтобы кривая B-spline проходила через контрольную точку: пусть p смежных контрольных точек будут одинаковыми
    Возьмем контр. точку p i. Так как отрезок кривой на узловом интервале [ ui, ui +1) лежит целиком внутри огранич. многоугольника точек p i,..., p i-p +1, p i-p, то, если сделать первые p контр. точек одинаковыми (т.e. p i = p i -1 =... = p i-p +1), то огр. многоугольник сожмется до отрезка прямой p i-p p i, а кривая должна будет пройти через точку p i.

Степень кривой на левом рисунке равна 3. Если p 5 переместить и сделать одинаковой с p 6, кривая сместится ближе к p 6, но все же не пройдет через нее. Это показано на среднем рисунке. Заметьте, что количество отрезков кривой от этого перемещения не изменяется; тем не менее, маленькая треугольная отметка рядом с p 5 двигается ближе к p 6.

Если p 4 сместить и сделать одинаковой с p 6 = p 5, кривая пройдет через p 6, а точка, соответствующая узлу, станет идентичной контрольной точке p 4 из-за этого перемещения.

  1. Сделаем кривую B-spline касательной сегменту контрольной ломаной: пусть p i-p, p i-p +1 = p i-p +2 =.... = p i -1 = p i и p i +1 будут коллинеарны
    Здесь p контр. точек делаются одинаковыми. В этой контрольной точке непрерывность C 0, потому что кривая имеет точку перегиба (или пересечения? блин) (смотри правый рисунок). Тем не менее, когда все узлы простые, кривая является Cp -1-непрерывной в узлах и бесконечно дифференцируемой в остальных местах, поэтому она является Cp -1-непрерывной в контрольнйо точке p i (сжатая контр. точка, перенумерованная в i) на сегменте p i-p p i, а также Cp -1-непрерывной в контрольной точке p i на сегменте p i p i +1. Таким образом, если сделать контр. точки p i-p, p i и p i +1 колинеарными, то из-за того, что два смежных отрезка кривой не имеют точки перегиба в узле, они будут Cp -1-непрерывными в p i.

На рисунках выше - кривые 2 степени. Если сделать контр. точки 2, 3, 4 и 5 колинеарными, а 3 и 4 совместить, получим правый рисунок. Колинеарность делает отрезок кривой лежащим на прямой, а совмещенные контр. точки дают C 3-1 = C 2-непрерывность.


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 155 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Разбиение Кривой Безье | Повышение Степени Кривой Безье | B-spline: Мотивация | Базисные Функции B-spline: Определение | Два Важных Замечания | Влияние Множественных УзлоFF | Множественные Узлы | Кривые B-spline: Определение | Кривые B-spline: Важные Свойства | Кривые B-spline: Вычисление Коэффициентов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Кривые B-spline: Перемещение Контрольных Точек| NURBS: Определение

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)