Задача 2.11

При радиоактивном распаде ядер нуклида А ₁ образуется радионуклид А ₂. Их постоянные распада равны λ₁ и λ₂. Полагая, что в начальный момент препарат содержал только ядра нуклида А ₁ в количестве N ₀₁, определить

а ) количество ядер нуклида А ₂ через промежуток времени t;

б ) промежуток времени, через который количество ядер нуклида А ₂ достигнет максимума;

в ) в каком случае может возникнуть состояние переходного равновесия, когда относительное количество обоих нуклидов будет оставаться постоянным. Чему равно это отношение?

Решение а ). Распад первого нуклида описывается обычным уравнением (2.1) для радиоактивного распада:

N 1(t) = N 10·exp(–λ1 t),

(2.11.1)

где N ₁₀ – начальное количество ядер нуклида А ₁.

Распад второго нуклида описывается дифференциальным уравнением, которое устанавливает баланс среднего числа ядер нуклида А ₂ за время dt:

dN 2 = λ1· N 1· dt – λ2· N 2· dt.

(2.11.2)

Первый член в правой части (2.11.2) дает среднее число ядер нуклида А ₂, которые возникают за время dt, второй – среднее число ядер нуклида А ₂, которые распадаются за время dt. С учетом (2.11.1) уравнение (2.11.2) приобретает вид

dN 2/ d t = λ1 · N 10 ·exp(–λ1 t)– λ2 · N 2.

(2.11.3)

Уравнение (2.11.3) будем решать методом вариации постоянной.

Решение однородного уравнения, получаемого из (2.11.3), есть

N 2 (t) = С (t)·exp(–λ2 t),

(2.11.4)

в котором С (t) – некоторая функция, которую нужно найти. Подставив в (2.11.3) функцию (2.11.4) и ее производную, получим дифференциальное уравнение для нахождения функции С (t):

dС / d t = λ₁ · N ₁₀ ·exp[(λ₂ – λ) t ],

решение которого есть

.

(2.11.5)

Константа С ₁ определяется из начальных условий.

Подставив (2.11.5) в (2.11.4), получим

.

(2.11.5)

Если N ₂₀(t = 0) = 0, то окончательно имеем

.

(2.11.6)

б ). Дифференцируя (2.11.6) по времени и приравняв к нулю производную, получим уравнение для нахождения t_m – времени накопления максимального числа ядер нуклида А ₂:

,

из которого

.

(2.11.7)

в ). Учитывая (2.11.1), получим из (2.11.6) следующее отношение:

.

Если λ₂ >> λ₁ [(T _1/2)₂ << (T _1/2)₂] и t >> 1/ λ₂ ≈ (T _1/2)₂, то

(2.11.8)

Таким образом, получена формула (2.4).

Дата добавления: 2015-07-08