Законы радиоактивного распада

Задача 2.1

Найти вероятность распада радиоактивного ядра за промежуток времени t, если известна его постоянная распада λ.

Решение. Пусть в момент времени t = 0 ядро достоверно существует. Тогда к моменту времени t = t´ (рис. 2.1.1) имеются две возможности:

1) ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность этого события q (t´);

2) ядро распалось и вероятность этого события равна р (t´).

Очевидно, что

q (t´) + р (t´) = 1,

(2.1.1)

т.к. третьей возможности нет.

Выясним, чему равна вероятность распада ядра за бесконечно малый промежуток времени dt´, если за предшествующее время t´ ядро не распалось. Это событие сложное (см. рис. 2.1.1). Вероятность того, что произойдут оба события будет равна

dр = q (t´)·λ· dt,

(2.1.2)

где λ dt - вероятность распада за интервал времени dt. Из (2.1.1) следует, что dp (t´) = – dq (t´). Произведя эту замену в (2.1.2), получаем дифференциальное уравнение для нахождения q (t´):

dq = – q (t´)·λ· dt.

(2.1.3)

Используя очевидное начальное условие q (t = 0) = 1 найдем, что вероятность того, что ядро не испытает распад к заданному моменту времени

q (t) = e^-λ t,

(2.1.4)

а, в соответствии с (2.1.1), вероятность распада ядра за это же время составит

p (t) = 1 – e^-λ t.

(2.1.5)

Если в момент времени t = 0 имелось N ₀ радиоактивных ядер, то к моменту времени t наиболее вероятное (ожидаемое) число радиоактивных ядер, не испытавших радиоактивный распад, должно быть равным

N (t) = N ₀· q (t) = N ₀e^{-λ t} ,

что совпадает с (2.1). Реальное же число оставшихся ядер будет отличаться от N (t) в большую или меньшую сторону из-за случайного характера радиоактивного распада.

Дата добавления: 2015-07-08