Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Читайте также:
  1. II. Первого сына спровадил
  2. А) ассоциируйтесь с каждым из значимых других (2-я позиция) и ощутите ситуацию импринтинга с их позиции восприятия. Опишите их опыт, используя язык первого лица;
  3. Апериодическое звено 1-го порядка
  4. Апериодическое звено 2-го порядка
  5. Апериодическое звено первого порядка (инерционное)
  6. Арифметические операции с целыми числами и переменными целого типа в языке Паскаль
  7. В общем случае многокомпонентных систем в соответствии с термодинамическим уравнением Гиббса при адсорбции изменение Поверхностное натяжение

Так называются уравнения вида . Запишем производную в виде отношения дифференциалов: и разнесем в разные части выражения, содержащие и . Мы получим равенство двух дифференциалов: . После интегрирования правой части по , а левой – по мы получим слева функцию, зависящую от , а справа – функцию, зависящую от , отличающихся на константу: .

 

П р и м е р. В соответствии с законом радиоактивного распада вещества скорость распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Если обозначить массу нераспавшегося вещества в момент , то этот закон можно записать в виде соотношения: . Знак минус указывает на то, что масса вещества убывает с ростом .

Решение. Разделим переменные: . После интегрирования получим . Здесь произвольное постоянное слагаемое мы представили в виде логарифма положительной постоянной величины для удобства последующего потенцирования: .

 

Проанализируем полученное решение. Оно содержит постоянные (эта постоянная зависит от вида радиоактивного вещества – стронций, радий, уран….) и – постоянную интегрирования. Предположим, что мы исследуем радиоактивный распад радия, для которого , если измерять время в годах. Решение уравнения распада имеет

вид , и мы получаем множество решений вследствие присутствия произвольной положительной константы .

 

 

Как выбрать единственное? В данном случае, чтобы узнать, какое количество радиоактивного вещества останется по прошествии определенного времени, необходимо знать, сколько его было в начальный момент. Задавая , мы задаем значение . Таким образом, чтобы решать конкретные задачи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями, необходимо не только само уравнение, но и дополнительные данные, количество которых определяется порядком дифференциального уравнения. Для решения задачи, поставленной для дифференциального уравнения первого порядка, необходимо задать начальное условие . Уравнение вкупе с начальным условием называется задачей Коши.

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 83 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Пример составления дифференциального уравнения| Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

mybiblioteka.su - 2015-2017 год. (0.006 сек.)