Глава 4. Поверхностные интегралы

§1. Поверхностные интегралы 1-го рода

1.Площадь поверхности, заданной уравнением z=f(x,y)

Будем предполагать, что функция f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными , в области D. Обозначим эти производные p= , q= . Уравнение касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид Z – z = p (X – x) +q(Y – y) (здесь X, Y, Z – текущие точки плоскости). Нормаль к этой плоскости = ±(p, q, -1), . Направляющие косинусы нормали равны

cos(, )	cos(, )	cos(, )
cos a	cos b	cos g
±	±

Возьмем какое-либо разбиение {D_i} области D. Цилиндры с основаниями D_i вырезают на поверхности z=f(x,y) области S_i = {(x,y,z): (x,y)ÎD_i, z = f(x,y) }.

На S_k выберем промежуточную точку M_k(x_k,h_k, z_k), z_k = f(x_k,h_k). В этой точке построим касательную плоскость. Цилиндр с основание D_k вырезает на этой плоскости фигуру T_k с некоторой площадью mT_k.

Известно, что

mD_k = mT_k |cos( , )|.

Таким образом

mT_k =mD_k .

За площадь поверхности z=f(x,y) принимается число

mS= = = = .

Докажем равенство mD_k = mT_k |cos( , )|. Рассмотрим цилиндр с основанием D, ограниченный сверху плоскостью. При необходимости систему координат можно повернуть вокруг оси Oz, так что можно считать, что уравнение верхней крышки цилиндра будет не содержать y: z = ax=x tg a.

Площадь плоской области определялась на основании площади многоугольника, поэтому равенство mD = mT |cos( , )| достаточно доказать для случая, когда T и D – треугольники. Можно считать (сделав, при необходимости, доворот системы координат), что основание треугольника D лежит на оси O x параллельно оси Oy.

Треугольники T и D имеют общее основание, а соотношение между высотами H_D = H_T |cos( , )| (a=g).

Замечание 1. Для поверхности y=j(x,z), аналогично, получим формулу

mS= .

Для x=y(y,z) mS= .

Замечание 2. Для вычисления площади поверхности не представимой ни в одном из видов z=f(x,y), y=j(x,z), x=y(y,z) можно попытаться ее разбить на отдельные поверхности указанных типов.

2. Вычисление площади поверхности, заданной параметрически

Параметрическим заданием поверхности называется задание следующего вида

Ф: ,

x,y,z – непрерывно дифференцируемые функции в D и якобианы

A= , B= , C= ,

не обращаются в 0 одновременно (ни в одной точке области D). На поверхности можно рассмотреть два семейства линий, фиксируя в параметрическом задании поверхности параметр u а затем v:

, .

Если радиус вектор в точку поверхноси M(x,y,z) обозначить , то касательные к двум линия этих семейсв, проходящих через точку (x₀,y₀,z₀ ) поверхности будут и нормалью к поверхности будет вектор

= (A,B,C).

Рассмотрим разбиение {Ф_k} поверхность Ф на части. Выберем промежуточные точки M_kÎ F_k и через T_k обозначим проекцию Ф_k на касательную плоскость в точке M_k в направлении нормали

Характеристикой l(D) этого разбиения называется максимальный из диаметров Ф_k.

Площадью поверхности Ф называется предел сумм вида при стремлении к нулю характеристики разбиения l, при условии существования этого предела и независимости его от выбора разбиения и выбора промежуточных точек.

mФ = .

Поверхность в этом случае называется квадрируемой.

Как и в случае явного задания, можно показать, что при сделанных предположениях Ф будет квадрируема и её площадь будет равна

mФ= = .

Если положить

E= = + +

G= = + +

F= , то EG – F² = EG – EG cos²j = EG sin²j = . Тогда

mФ= .

Выражение =

или в случае явного задания, называется элементом поверхности (точнее, площадью элемента поверхности).

3. Определение поверхностного интеграла 1-го рода

Пусть задана квадрируемая поверхность F и на ней функция f(x,y,z). Возьмем какое-либо разбиение {F_k } поверхности F, выберем промежуточные точки M_kÎ F_k и составим суммы вида

s = .

Определим характеристику разбиения l(D)=max dF_k (максимальный из диаметров).

Поверхностным интегралом первого рода называется предел сумм s при стремлении к нулю l(D), при условии, что он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек. Поверхностный интеграл первого рода обозначается

, или для замкнутой поверхности.

4. Существование и вычисление интеграла 1-го рода

4.1. Поверхность F задана явно z = z(x,y), (x,y)Î D (компакт),

где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, фунуция f(x,y,z) определена и непрерывна на F. Тогда существует интеграл , равный

= , p= , q= .

Доказательство. Пусть разбиению {Ф_k} соответствует разбиение {D_k} области D. Промежуточным точкам {M_k}, M_k Î Ф_k, соответствуют точки {N_k}, N_k Î D_k. Обозначим F(x,v)=f(x,y,z(x,y)). Для площадей получаем

mF_k= = .

Тогда интегральные суммы будут равны

s = = =

= + .

Первая из сумм является интегральной для , вторая сумма может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее утверждение следует из равномерной непрерывности функции F(x,y)=f(x,y,z(x,y)) на D.

4.2. Поверхность задана параметрически

F:

с непрерывно дифференцируемыми функциями x(u,v), y(u,v), z(u,v). Вектор = (A,B,C) ¹ 0 в D.

f(x,y,z) непрерывна на F. Тогда поверхностный интеграл существует и равен

= .

Доказательство аналогично предыдущему. Поверхность разбивается на подобласти {F_k }, соответствующие разбиению {D_k } области изменения параметров D и выбираются промежуточные точки M_kÎ F_k и соответствующие точки N_k Î D_k. F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)). Тогда

mF_k= = . И далее

s = = =

+ . Первая сумма является интегральной для , вторая будет стремиться к нулю при стремлении к нулю характеристики разбиения.

5. Простейшие свойства интегралов первого рода

1) = mF.

2) = a + b

3) = +

4) £ .

Все эти свойства следуют из соответствующих свойств двойных интегралов, с учетом формулы сведения поверхностного интеграла к двойному.

§2. Поверхностные интегралы 2-го рода

1.Определение стороны поверхности

Для поверхностей, которые нам встречались до сих пор можно ввести понятие стороны поверхности. Такие поверхности характеризуются, как двухсторонние поверхности. Их можно выкрасить в два цвета так, что один цвет не будет переходить в другой. Аналитически сторону поверхности можно определить, как множество всех единичных нормалей к поверхности таких, что любые две нормали данной стороны получаются одна из другой непрерывным движением по поверхности вдоль некоторой непрерывной кривой, лежащей на этой поверхности. Существуют поверхности, не обладающие подобным свойством. Такие поверхности называются односторонними.

Примерами односторонних поверхностей могут служить лист Мёбиуса и «бутылка» Клейна.

Можно дать следующее определение односторонней и двухсторонней поверхностей. Поверхность называется двухсторонней, если выполнено следующее свойство: для произвольной точки поверхности при движении по любому замкнутому пути, лежащем на поверхности и выходящем из этой точки, мы возвращаемся в эту точку с тем же направлением нормали.

Если же существует хотя бы один замкнутый путь, двигаясь по которому мы вернемся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то такую поверхность называют односторонней. Предполагается, что при движении вдоль пути, нормаль изменяется непрерывно. Для листа Мебиуса такой линией, например, является продольная пунктирная линия. Если произвести разрез по этой линии, то поверхность не распадется на две части, как это может показаться на первый взгляд, а останется единой.

В дальнейшем, в этом курсе будут рассматриваться только двухсторонние поверхности.

Определение. Поверхность с выбранной стороной (совокупность нормалей) называется ориентированной поверхностью.

Явно заданную поверхность F: z = f(x,y) называют положительно ориентированной, если cos ( n, k ) > 0. Поверхность F: y = f(x,z) называют положительно ориентированной, если cos ( n, j ) > 0. Поверхность F: x = f(y,z) называют положительно ориентированной, если cos ( n, i ) > 0.

Для замкнутой поверхности положительной ориентацией называется выбор внешней нормали

2. Определение поверхностного интеграла 2-го рода

Рассмотрим непрерывно дифференцируемую поверхность Ф: z = z(x,y) на D. Для заданного разбиения {Ф_k } этой поверхности и набора промежуточных точек {М_k } обозначим n _k единичную нормаль в точке М_k к поверхности Ф. Через D_k обозначим проекцию Ф_k на плоскость x y. Для функции f, определенной на Ф рассмотрим интегральные суммы вида

s = sign cos(k, n _k).

Здесь k орт оси Oz. Отметим, что в данном определении множитель sign cos( k, n _k) не зависит от k иможет принимать два значения, в зависимости от ориентации поверхности, либо 1, либо –1.

Замечание. Таким образом, в случае задания поверхности в виде z = z(x,y) этот множитель не зависит от k и интегральные суммы будут равны s = , либо s = в зависимости от ориентации поверхности.

Поверхностным интегралом 2-го рода называется предел сумм s при стремлении к нулю характеристики разбиения, при условии, что этот предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек. Обозначается интеграл

= .

Замечание. Если Ф^- та же поверхность с противоположной ориентацией, то

= .

Аналогично определяются интегралы dydz, dzdx, в случае, если поверхность однозначно проектируется на соответствующие координатные плоскости. В этих определения порядок дифференциалов менять нельзя. Интегральные суммы будут иметь вид sign cos( i, n _k), sign cos( j, n _k). i, j – орты координатных осей Ox, Oy.

Рассмотрим векторное поле V =(P,Q,R) определенное на ориентированной поверхности Ф, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости. В этом случае можно рассмотреть интеграл

= + + .

Если поверхность Ф разбивается на отдельные части Ф_k, каждая из которых однозначно проектируется на все координатные плоскости, то определяется, как сумма интегралов по отдельным частям

= .

3. Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Ориентированная поверхность задана явно Ф: z = z(x,y) на D, с непрерывно дифференцируемой функцией z(x,y). R(x,y,z) – непрерывна на Ф. Тогда поверхностный интеграл

существует и вычисляется по формуле

= or Ф .

Здесь и в дальнейшем or Ф = 1 для положительно ориентированной поверхности и or Ф = -1 в противном случае.

Доказательство. Для заданных разбиений {Ф_k }, {D_k }, промежуточных точек {М_k} ={(x_k,y_k,z(x_k,y_k)} единичных нормалей n _k в точках М_k к поверхности Ф обозначим cos g_k = cos ( n _k, k ). Тогда для интегральных сумм получим

s = sign cos g_k = or Ф .

Из последнего равенства и следует требуемое утверждение. Аналогичные формулы имеют место для поверхностей вида y=y(z, x), x=x(y, z).

= or Ф , = or Ф .

4. Связь с интегралом 1-го рода

Как отмечалось ранее mF_k= = или

mD_k= , - третий направляющий косинус единичной нормали к поверхносити Ф в точке P_k. Если M_kÎF_k и cos g_k третий направляющий косинус единичной нормали к поверхносити Ф в точке M_k, то sign cos g_k = sign cos h_k. Поэтому для функции R(x,y,z), заданной на поверхности, получим

s = sign cos g_k = sign cos h_k =

cos h_k = cos g_k + (cos h_k - cos g_k) .

Первая сумма является интегральной для , вторая сумма стремится у нулю при неограниченном измельчении разбиения. Последнее утверждение следует из ограниченности функции f (первая теорема Вейерштрасса) и равномерной непрерывности функции cos g (x,y,z) (функция – косинус угла между нормалью к поверхности и осью z является непрерывной функцией на поверхности. Предполагается, что D- компакт). Таким образом, мы получаем формулу, связывающую поверхностные интегралы 2-го и 1-го рода

= . (1)

Определение. Поверхность, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости, будем называть поверхностью типа А. Поверхность называется допустимой, если она непрерывно дифференцируема, имеем везде ненулевую нормаль и допускает разбиение на конечное число поверхностей типа А.

Для допустимых поверхностей Ф, доказанная формула будет верна по отношению ко всем координатным плоскостям. В частности, если на поверхности определено непрерывно дифференцируемое поле V =(P,Q,R), то

P dydz +Q dzdx+R dxdy = (P cos a +Q cos b + R cos g) dS, (2)

где cos a, cos b, cos g - направляющие косинусы нормали к поверхности. Эти формулы можно получить из (1) циклической перестановкой переменных. Например, для интеграла в формуле (1) необходимо заменить R на Q, y на x, z на y, x на z, cos g на cos b ( См. рис. Заменяем 2 на 3).

5. Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода

Введем следующие обозначения dS = n dS = (cos a, cos b, cos g) dS. Это позволяет использовать векторное обозначение для интеграла 2-го рода

P dydz +Q dzdx+R dxdy = ( V, dS ).

Формула (2) в этих обозначениях выглядит следующим образом

(V, dS) = (V, n) dS (2)

Замечание.Как это следует из формул вычислния площади поверхности, dS=| N |dxdy для поверхности z(x,y) и dS=| N |dudv для параметрически заданной поверхности. Это можно использовать при вычислении поверхностных интегралов. Например, для параметрически заданной поверхности можно записать

(V, dS) = (V, n) dS= (V, n) | N |dudv= (V, N)dudv.

Отметим свойства интеграла 2-го рода

1) (V, dS) = - (V, dS)

2) (a V + b W, dS) = a (V, dS) + b (W, dS)

3) (V, dS) = (V, dS) + (V, dS)

4) | (V, dS) | £ max | V |mF

Все эти свойства являются следствием соответствующих свойств интеграла 1-го рода и формулы (2).

Пример 1 (4352.2). Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x+y+z=a, x³0, y³0, z³0 относительно координатных плоскостей.

Требуется вычислить интегралы , , .

Плотность распределения массы r=1. = = = .

Пример 2 (4353). Найти момент инерции относительно оси Oz однородной сферической оболочки x²+y²+z²=a², z³0.

Требуется вычислить интеграл .

Плотность распределения массы r возьмем равной 1. Найдем длину вектора нормали для сферических координат x=a cosq cosj, y=a cosq sinj, x=a sinq

=

a²(cos²q cosj, cos²q sinj, sinq cosq), =a² cos q.

Эта величина равна модулю якобиана, отображения определяемого сферическими координатами.

Тогда, используя сферические координаты для параметрического задания верхней полусферы, ( область изменения параметров - прямоугольник )

= = = = = = = .

Отметим, что в этом примере речь не идет о замене переменных.

Пример 3 (4354). Найти координаты центра тяжести однородной поверхности , вырезанной поверхностью .

Координаты центра тяжести: , , .

Считаем плотность распределения масс равной 1. Вес поверхности = = = = = .

= = = = = . X = . Y = 0 из соображений симметрии.

= = =y= = . Z= .

Пример 4 (4362).

Вычислить , Ф -внешняя сторона сферы x² + y²+z²=a².

(V, dS) = (V, n) dS= = = amФ= .

Пример 5 (4365).

Вычислить , Ф -внешняя сторона эллипсоида .

. . . Обозначим через D - верхний полуэллипсоид, а через D его проекцию на плоскость xOy. Учитывая ранее сделанное замечание и симметрию относительно координатных осей, получим

=2 = = = = = .

§3. Формула Стокса

1. Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y)

Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф, однозначно проектируемую не все координатные плоскости. Пусть эта поверхность имеет задание z = z(x, y), (x, y)ÎD_z относительно переменных x,y. Через Г обозначим край этой поверхности с согласованной ориентацией. Согласованной ориентацией называется такая, что при обходе края поверхности в этом направлении с выбранной нормалью, поверхность остается слева.

Пусть P(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерывные частные производные , . Тогда имеет место равенство

.

Доказательство проведем для положительно ориентированной поверхности

Обозначим P^*(x,y)=P(x,y,z(x,y)). Отметим, что = . Это следует из формулы вычисления криволинейного интеграла. Действительно, рассмотрим параметризацию кривой g.

g: tÎ[a, b] тогда G: tÎ[a, b].

Тогда = = ,

= .

По формуле Грина

= = = = = = = = . Здесь использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормали

cos b = , cos g = , откуда q cos g = - cos b.

Замечание. Доказанная формула будет верна и для допустимых поверхностей, то есть для поверхностей, дапускающих зарбиение на части, однозначно проектируемые на все координатные плоскости.

2. Формула Стокса для векторного поля.

Пусть Ф допустимая, ориентированная поверхность и V =(P,Q,R) непрерывное на Ф поле, Г- край этой поверхности с согласованной ориентацией.

Из доказанной формулы формальной заменой z на y, y на x, x на z, P на R (см. рисунок, заменяем 1 на 2) получим .

Точно так же заменой z на x, y на z, x на y, P на Q (см. рисунок, заменяем 1 на 3) получим . Складывая полученные выражения, получим

= .

Векторная запись формулы Стокса. Ротор определяется по формуле

rot V = .

Тогда формула Стокса запишется в виде

(V, ds) = (rot V, dS)= .

Циркуляция векторного поля по краю поверхности равна потоку ротра через эту поверхность. Подробнее о смысле этой терминологии будет сказано позже.

Пример 1.(4367) Вычислить , С- окружность x²+y²+z²=a², x+y+z=0, проходимая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.

rot V = =(-1,-1,-1). В качестве поверхности с краем C выберем круг сечения плоскости x+y+z=0 шара x²+y²+z²£ a², ориентированный нормалью (1,1,1). Тогда

= (rot V, dS)= (rot V, n)dS= dS= mФ= p a².

Пример 2.(4368) Вычислить , взятый по отрезку винтовой линии x=a cos j, y=a sin j, z= от А(а,0,0) до B(a,0,h).

rot V = =(0,0,0), поэтому интеграл не зависит от пути интегрирования и вместо винтовой линии выберем отрезок, соединяющий точки A, B. .

= .

Пример 3.(4369) Доказать формулу

= ,

где Ф- область, лежащая в плоскости с единичной нормалью , ограниченная кривой , согласованно ориентированной с нормалью .

,

rot V = =(2cosa,2cosb,2cosg)=2 .

= .

Пример 4. Вычислить . С - контур x=a sin²t, y=a sin t cos t, z=a cos²t, tÎ[0,p].

Контур лежит в плоскости x+z=a, далее , y²=x z, y²=x (a – x), или . Таким образам, этот контур является эллипсом с полуосями .

rot V = , , , =

3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве

Лемма. Для того, чтобы интеграл

( V, ds ) (1)

не зависел от пути интегрирования Г (соединяющего две фиксированные точки А, В) необходимо и достаточно, чтобы интеграл (1) был равен нулю для любого замкнутого контура, лежащего в области (циркуляция поля равна нулю по любому кортуру из области).

Доказательство для пространственной области проводится так же, как и в плоском случае.

Определение. Область D называется поверхностно односвязной, если для любой кусочно гладкой замкнутой кривой Г (контура Г), лежащей в D можно указать ориентированную допустимую поверхность Ф, расположенную в D, краем которой является Г.

Примеры. Шар является поверхностно односвязной областью. Тор не является поверхностно односвязной областью.

Теорема 1. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути в поверхностно односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области D.

Доказательство. Достаточность (дано: rot V =0) следует из формулы Стокса и сформулированной леммы.

Необходимость. Предположим противное, существует точка М₀ (её можно считать внутренней точкой области D), где rot V ¹ 0. Следовательно, одна из координат этого вектора в этой точке будет отлична от нуля. Пусть, например, Найдется окрестность этой точки, в которой будет выполняться условие и которая будет лежать в D.
Сечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М₀ обозначим (круг радиуса e, ориентированный ортом оси x), а его границу – через (окружность с согласованной ориентацией). D- проекция K на плоскость yOz

Используя формулу Стокса, получим противоречие:

= = > .

Теорема 2. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути интегрирования в поверхностно односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы подинтегральное выражение было полным дифференциалом

Pdx+Qdy+Rdz = du.

Доказательство. Достаточность. Если Pdx+Qdy+Rdz = du, то , , . Откуда следует, что rot V =0.

Необходимость. Определим функцию u по формуле

u(x,y,z) = (V, ds),

где М₀(x₀, y₀, z₀) – фиксированная точка в области D, а интегрирование ведется по некоторому пути, соединяющему точки М₀ и М. Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то определение корректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е. , , . Вычислим производную непосредственно по определению.

Для отрезка ММ¢ используем параметризацию

. Тогда

= =P(x+qDx,y,z), откуда и следует требуемое соотношение для частной производной . Аналогично проводится доказательства для других производных.

§4. Формула Остроградского Гаусса

Определение. Объемно односвязной областью называется область D, удовлетворяющая следующему свойству. Любая замкнутая, кусочно-гладкая, не самопересекающаяся поверхность, расположенная в D, является границей области целиком лежащей в D. Можно сказать, что внутри области нет полостей.

Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R, определенную в этой области и имеющую там непрерывную производную . Границу этой области, ориентированную положительно, обозначим ¶ W.

Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса

= .

При доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z (любая вертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству). В этом случае область W можно описать, как геометрическое место точек следующего вида:

W = {(x,y,z):zÎ[z₁(x,y),z₂(x,y)] для любых (x,y)ÎD},

где z₁(x,y),z₂(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае

= = =

+ + = .

Делая циклические перестановки переменных x® z® y, y® x® z, z® y® x

можно получить еще две формулы для поверхностей выпуклых по другим осям.

= , = .

Если область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле V =(P,Q,R) c непрерывными частными производными па соответствующим переменным, то эти три формулы можно собрать в одну

= .

Дивергенция векторного поля определяется по формуле div V = .

Тогда, используя векторные обозначения, формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде

div V dW = (V, dS).

Формула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на конечное число областей указанного типа.

Пример 1 (4389).Вычислить I = (x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy, Ф: .

в системе координат u,v,w

По формуле Остроградского Гаусса I =3 . Сделаем замену переменных

, в этом случае в новых координатах граница области будет определяться уравнением : |u|+|v|+|w|=1. Якобиан отображения равен

=4, , поэтому I = = 2

Дата добавления: 2015-07-08