Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Глава 3. Криволинейные интегралы

Читайте также:
  1. Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл
  2. Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение
  3. Глава 4. Поверхностные интегралы
  4. Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра
  5. Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты
  6. Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения

 

§1. Криволинейные интегралы 1-го рода

1.Определение, существование

Рассмотрим спрямляемую кривую g и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Tk}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой T={Tk}. На каждой дуге Tk Tk+1 задана промежуточная точка Xk=(xk, hk, zk), X={ Xk }, обозначим длину дуги Tk Tk+1 через lk, длину хорды, стягивающей дугу Tk Tk+1 обозначим Dlk. Характеристикой разбиения T назовем величину l(T) = max Dlk. Составим интегральные суммы следующего вида

s(f,T,X)= (1).

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(T), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

.

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла

$J"e>0$d>0:(l(T)<d, XÎT)Þ|s(f,T, X) - J|<e.

Можно использовать эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм суммы вида , где вместо длины хорды Dlk берется длина дуги lk. Доказательство эквивалентности этих определений для гладкой кривой будет дано позже.

Замечание 1. Если кривая g плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается .

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

, tÎ[a, b] (2)

Теорема 1. Если кривая (2) гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек

(x¢ 2+y¢ 2+z¢ 2¹0)), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл существует и имеет место равенство

= (3)

Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение {tj } отрезка [a, b].

= = = + .

Второй интеграл в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно мелкого разбиения. Действительно,

= . Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и вторая теорема Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной непрерывности. Таким образом, пределом сумм будет интеграл

.

Для доказательства эквивалентности двух определений, для заданного разбиения {tj } отрезка [a,b] промежуточные точки xj выберем так, что

,

соответствующие точки на кривой g обозначим Xk=(x(xk),y(xk)). Для интегральной суммы получим

= =

Полученная сумма является интегральной суммой для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора порядка точек разбиения {Ak} (что считать началом кривой, а что концом, что в дальнейшем будет определяться, как ориентация кривой). Точки A, B могут совпадать.

2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1)

2) (Аддитивность по множеству) Если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB и существует , то существуют и и справедлива формула

= +

1) Если существует , то существует и и выполнено неравенство £ .

2) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.

Поясним это свойство на примере отображения

 

(поворот на угол a вокруг оси Oz)

Если функция f(x,y,z) определена на g, то в системе координат (u, v, w) функция

F(u,v,w)=f(u cosa - v sina, u sin a + v cos a, w)

Будет определена на образе G кривой g. И в данном случае это свойство означает равенство интегралов

.

Доказательства свойств 1)-3) те же, что и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой кривой эти свойства следуют из соответствующих свойств обычного интеграла

.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.

 

§2. Криволинейные интегралы 2-го рода

1.Определение, существование.

Рассмотрим кривую g с началом в точке A и концом в точке B. Пусть T={Tk} разбиение кривой g и X={ Xk }, Xk=(xk, hk, zk), набор промежуточных точек, Dxj=xj+1 – xj.

Для функции f(x,y,z), данной кривой, разбиения и набора промежуточных точекобразуем интегральные суммы

(1)

Предел сумм (1) при l(T)®0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается

(2)

Характеристика разбиения определяется так же, как для интеграла первого рода l(T) = max Dlk. Аналогично можно определить интегралы

, .

Замечание 1. Если началом кривой выбрать точку B, то все xj меняют знак, поэтому

= .

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Теорема 1. Пусть кривая g задана в параметрическом виде

, tÎ[a, b] (3)

Если кривая (3) непрерывна, x(t) – непрерывно дифференцируема, функция f непрерывна на g, то интеграл (2) существует и имеет место формула

= .

Доказательство. Для разбиения T={Tk}={(x(tk), y(tk), z(tk)} и промежуточных точек

{Xk}={(x(xk), y(xk), z(xk)} можно интегральные суммы представить в виде

= =

Последнюю сумму в этом равенстве можно представить в виде

+ .

Здесь первая сумма является интегральной для интеграла , а вторая может быть сделана меньше любого наперед заданного e >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции .

Замечание. Зачастую удобно рассматривать интегралы вида

+ + = = =

= = .

Интеграл можно интерпретировать, как работу силового поля вдоль пути g.

2. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Перечисляемые ниже свойства выписаны для интегралов вида , но они справедливы и для интегралов , , . Через g-- обозначается кривая, отличающаяся от g направлением обхода. Кривую g будем предполагать кусочно-гладкой, а функции P,Q,R непрерывными

(), тогда

1) =

2) =a +b

3) (Аддитивность по множеству) Если существует интеграл и кривая AB разбита точкой C на два участка AC, CB, то

= + .

4) Если существует интеграл , то

.

5) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется

Первое свойство следует непосредственно из определения криволинейного интеграла. Свойства 2)-3) доказываются так же, как и для обычных интегралов. Для кусочно гладкой кривой эти свойства следуют из свойств интегралов , , . Четвертое свойство будет доказано в следующем пункте.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.

3. Связь с интегралом 1-го рода.

Рассмотрим кусочно-гладкую кривую g и непрерывную функцию f(x,y,z), определенную на g. Рассмотрим разбиение {Tk}={xk,yk,zk,} кривой g с промежуточными точками X={Xk}.

Dxk=xk+1 - xk=Dlk cos ak. На рисунке отрезок BC проходит через точку Tk, параллельно оси Ox.

Поэтому

=

Слева стоят интегральные суммы для интеграла 2-го рода, а справа стоят суммы, которые при измельчении разбиения будут сходиться к интегралу , где a=a(x,y,z) - угол, который образует касательный вектор к кривой g в точке (x,y,z) с осью Ox, . Отсюда следует, что

= .

Докажем это.

= = + .

Первая сумма является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения (в силу равномерной непрерывности функции f[x(t),y(t),z(t)] на [a,b]).

Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям Oy, Oz. Откуда, в свою очередь, будет следовать равенство

= , (4)

, , .

Обозначим орт вектора касательной и введем понятие вектора элемента длины дуги . В этих обозначениях интеграл справа в (4) может быть записан в виде , это интеграл первого рода. Интеграл слева в (4) является интегралом второго рода и его принято обозначать . Таким образом, формула (4) в векторном виде может быть записана следующим образом

= .

Докажем четвертое свойство интеграла второго рода . Для интегральных сумм интеграла (второе определение) можно записать

.

Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Для замкнутой кривой, лежащей в плоскости z=0, положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.

Пример 1. (4225) Вычислить , g - дуга астроиды .

Параметрическое уравнение астроиды

 

= = = = + = + = =

Пример 2. (4238) , g - окружность , x+y+z=0.

Сделаем поворот системы координат на 45 градусов вокруг оси Oz. Это означает переход к новой системе координат

Согласно свойству инвариантности интеграла относительно поворотов

= , где G - окружность u2+v2+w2=a2, u+w=0. Отметим, что этим поворотом мы «избавились» от одного переменного в уравнении плоскости. Попробуем избавиться таким же способом от второго переменного. Так как u+w = , то этого можно добиться, сделав поворот

  Обратное отображение

Это соответствует повороту на угол b, для которого , .В новых координатах p, q, r уравнение плоскости будет иметь вид p = 0. Подинтегральная функция

u2-2uv+v2= . Кривая лежит в плоскости p=0, поэтому в качестве параметризации возьмем полярные координаты

= = = = = = .

Пример 3. (4248) Вычислить интеграл

, где g - 1) отрезек g1=OA, O=(0,0), A=(1,2). 2) парабола g2 ={y=2x2}, от O до A. 3) два отрезка g3 + g4: по оси Ox и вертикально вверх до точки A.

 

§3. Формула Грина

1.Формула Грина

Рассмотрим область типа A (см. рис.) D={(x,y):y1(x)£ y £ y2(x), xÎ[a,b]}, где y1(x)£ y2(x), две непрерывные функции на отрезке [a,b].

Границу этой области с положительным направлением обхода обозначим G. Пусть в области D задана функция P(x,y), непрерывная там вместе со своей частной производной . Тогда справедлива формула

= - . (1)

Доказательство. = = = - = - = .

Здесь используются равенства =0, =0, следующие непосредственно из определения интеграла. Аналогично, можно показать, что для области типа B (см. рис.)

справедлива формула

= . (2)

Если область является одновременно областью и типа A и типа B,

то из (1), (2) для поля = (P,Q) получается формула

(3)

Формулы (1), (2), (3) называются формулами Грина.

Замечание. Формула (3) верна и для областей более общего вида. В частности, если область можно разбить непрерывными кривыми на конечное число областей, для каждой из которых формула (3) справедлива, то эта формула будет верна и для всей области.

Для области, показанной на рисунке, можно сделать разрез, как показано на рисунке.

Область разбивается на две области D1, D2 , для которых справедлива формула Грина.

Введем обозначения ¶D1 =g1+g2, ¶D2 =g3+g4=G, тогда ¶D =g1+g4. При этом + =0. Тогда

= + = + = + + + = + = .

Пример 1. (4307) Вычислить . Контур C оринтирован положительно. Рассмотреть два случая: контур не содержит начало координат, контур содержит начало координат.

Обозначим через D область, ограниченную контуром C. Вычислим частные производные

= = ,

= = ,

Таким образом, в первом случае = =0.

Во втором случае формула Грина не может быть использована, так как поле (P,Q) имеет особенность в начале координат, которая попадает в область интегрирования. Выберем круг с центром в начале координат и достаточно малого радиуса r так, чтобы он содержался в области D. Границу этого круга, ориентированную положительно, обозначим Cr. Произведем два разреза кусочно-гладкими кривыми, соединяющие какие либо две точки границы контура C с какими либо точками окружности Cr. На рисунки в качестве разрезов выбраны отрезки прямой и показаны обозначения для некоторых кривых, образовавшихся в результате этих разрезов. Отметим, что

C=C1+C8, =C3+C6, C2= , C4= .

 

Внутри контуров C1+ C2+ C3+ C4 и C5+ C6+ C7+ C8 особенностей нет и, как было доказано, с Контур G=C1+ C2+ C3+ C4+ C5+ C6+ C7+ C8 не содержит внутри себя ни каких особенностей векторного поля (P,Q) и, поэтому к нему применима формула Грина

0 = = = = .

Таким образом. = = .

Пример 2. (4303) Вычислить , где AmB – верхняя полуокружность x2+y2=ax, начало - A(a,0), конец – B(0,0).

, . .

= = .

= = .

AB- имеет параметризацию .

Тогда

= + = .

Пример 3. (4304) Вычислить , где функция f(y) – непрерывно дифферинцированная на проекции кривой AmB функция (проекция на ось Oy), AmB – кривая, соединяющая точки A, B, ограничивающая вместе в отрезком AB область D.

, . .

= .

=mmD = mmD .

AB- имеет параметризацию , A=(x0,y0),B=(x1,y1), Dx=x1 - x0 , Dy=y1 - y0.

Тогда

=

=

- = = .

= mmD+ .

2.Использование формулы Грина для вычисления площадей.

Если в качестве функций P, Q взять функции, для которых , то получится формула для вычисления площади области, ограниченной кривой g.

.

Можно предложить три варианта таких функций

1) Q=x, P=0 и тогда .

2) Q=0, P=-y и тогда .

3) Q= , P= и тогда .

Пример 1. Вычислить площадь астроиды

 

= = = = = ab.

Пример 2. Вычислить площадь лемнискаты (x2+y2)2=a2(x2-y2).

В полярных координатах .

Параметризация правой ветви .

= + = = = .

3. Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.

Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.

Например, для области, показанной на рисунке произведены разрезы, соедеиняющие обе связные компоненты границы между собой.

Можно выписать цепочку равенств

= + = + = + + + + + + + = + + + = + = .

Замкнутая кривая называется контуром. Криволинейный интеграл второго рода в этом случае иногда обозначается .

До конца этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество, а функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными , .

Лемма. Для того, чтобы интеграл

(4)

(A, B – любые точки из D) не зависел от пути интегрирования (а только от начальной и конечной точек A, B) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю

=0.

Интеграл называется циркуляцией векторного поля V =(P,Q).

Доказательство (необходимость). Пусть (4) не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых G2 (из A в B, как на рисунке) и G1 (тоже из A в B, но по другой ветви), C= + G2.

По условию = , кроме того = , поэтому = + = - =0. Для доказательства достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB=G2, AB=G1 соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C= + G2. По условию =0, откуда, с учетом соотношения = + = - , следует требуемое равенство = . В этом доказательстве предполагается, что кривые G2,G1 не пересекаются. Самостоятельно доказать это утверждение для случая, показанного на рисунке ниже

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы

в области D. (5)

Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет

=0,

откуда по лемме следует требуемое утверждение.

Необходимость. По лемме для любого контура = 0. Тогда по формуле Грина для области D, ограниченной этим контуром =0. По теореме о среднем 0= = или = =0. Переходя к пределу, стягивая контур к точке, получим, что в этой точке .

Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы подинтегральное выражение Pdx+Qdy являлось полным дифференциалом некоторой непрерывно дифференцируемой функции u(x,y) в области D

du = Pdx+Qdy (6)

Достаточность. Пусть (6) выполнено, тогда , , и можно сослаться на теорему 1.

Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Фиксируем некоторую точку A0 в области D и определим функцию

u(A) = u(x,y)= .

В этом случае

, xÎ[x,x+Dx] (xÎ[x+Dx,x]). Таким образом, существует производная = P. Аналогично, проверяется, что =Q. При сделанных предположениях функция u оказывается непрерывно - дифференцируемой и du = Pdx+Qdy.

Замечание 1. Условие односвязности области D в сформулированных теоремах существенно.

Ранее был рассмотрен пример с интегралом , где = = . В случае, когда область содержит начало координат, полученная область является двусвязной, в частности, интегралы по контурам, содержащим начало координат не равны нулю.

Замечание 2. При доказательстве теоремы 2 была построена функция u(x,y)= . Эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной и называется потенциалом (скалярным) векторного поля (P,Q).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Для поля = будет выполнено .

В этом случае для функции u(x,y)= выполняется равенство du = Pdx+Qdy и, следовательно, u(x,y)=Const есть решение исходного дифференциального уравнения. Найдем функцию u. Пусть M =(x, y) текущая точка области M0=(0,0). В качестве кривой, соединяющей точки M0 и M, выберем отрезок

g: ,

 

= = + = + = + = .


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 172 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл | Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра | Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты | Глава 7. Элементы тензорного исчисления |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение| Глава 4. Поверхностные интегралы

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.061 сек.)