Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретическая часть. Для изучения некоторых функций иногда удобно представить ее при помощи более простых

Читайте также:
  1. II. Основная часть
  2. IV. Счастье улыбается Мите
  3. А теперь следующий вопрос (Рассуждения Мэй Касахары. Часть 3)
  4. Б. Экзокринная часть: панкреатические ацинусы
  5. Беседа Х. О счастье.
  6. Буддадхарма безгранична и вечна - как бы она могла влезть в твои рамки счастья и удовлетворения?
  7. Буддадхарма безгранична и вечна – как бы она могла влезть в твои рамки счастья и удовлетворения?

Для изучения некоторых функций иногда удобно представить ее при помощи более простых функций, свойства которых являются известными. Во многих технических задачах возникает необходимость разложения функции через периодические функции, например, тригонометрические.

Рассмотрим гармонические колебания, описываемые синусоидальной функцией f(x)=Asin(ωx+φ). Здесь А—амплитуда колебания, ω—частота колебания, φ—начальная фаза колебания.

f(x)=Asin(ωx+φ)=Asin ωxcosφ+Acos ωxsinφ.

Положим Asinφ=a, Acosφ=b, тогда

f(x)= asin ωx+bcos ωx.

Т. е. сложную гармонику можно представить в виде суммы более простых гармоник. Периодическая функция f(x) с периодом Т=2π можно разложить следующим образом:

Определение. Тригонометрическим рядомназывается ряд вида:

или, короче, (20.1)

Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.

Следует отметить, что периодическую функцию с периодом 2p достаточно рассмотреть только на отрезке [-p; p] или [0; 2p].

Пусть функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

(20.2)

(20.3)

(20.4)

существуют и называются коэффициентами Фурьедля функции f(x).

 

Определение. Рядом Фурьедля функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Если функция f(x) задана на промежутке [-l,l], где l – произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

,

где

В случае, когда f(x) – четная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член (a0) и косинусы, т. е.

где

В частности, если функция f(x) четная на промежутке [-π;π], то

(20.5)

(20.6)

(20.7)

В случае, когда f(x) – нечетная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т. е.

.

В частности, если функция f(x) нечетная на промежутке [-π;π], то

(20.8) (20.9)

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 133 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Вычисление объемов | Практические задания | Теоретическая часть | Практическая часть | Практические задания | Теоретическая часть | Практическая часть | Практические задания | Теоретическая часть | Разложение функции в степенной ряд |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Практические задания| Практическая часть

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.007 сек.)