Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретическая часть. Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно

Читайте также:
  1. II. Основная часть
  2. IV. Счастье улыбается Мите
  3. А теперь следующий вопрос (Рассуждения Мэй Касахары. Часть 3)
  4. Б. Экзокринная часть: панкреатические ацинусы
  5. Беседа Х. О счастье.
  6. Буддадхарма безгранична и вечна - как бы она могла влезть в твои рамки счастья и удовлетворения?
  7. Буддадхарма безгранична и вечна – как бы она могла влезть в твои рамки счастья и удовлетворения?

Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно переменных х и у, уравнениями вида

, (1)

где А, В, С одновременно не равны нулю, называются кривыми второго порядка.

1. Окружность.Простейшей кривой второго порядка является окружность.

Окружностью называется множество точек на плоскости, удаленных от заданной точки A этой же плоскости на одно и тоже расстояние R>0. Точка А называется центром окружности, а d-радиусом окружности.

Общее уравнение окружности с центом А(х0;у0) и радиусом R имеет вид:

. (2)

Рис.1

В частности, если центр находится в т.О(0;0), то уравнение (1) примет вид:

2. Эллипс.Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояния от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

каноническим уравнением эллипса:

, a>0, b>0 (3)

Если a>b, то a--большая полуось, b—малая полуось эллипса. Координаты фокусов

F1(-c;0), F2(c;0), c2=a2-b2, . (см.рис.2)

Очевидно, для эллипса ε < 1.

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойства эллипса:

· Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

· Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

· Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

· Эллипс имеет центр симметрии.

Эллипс может быть получен сжатием окружности, чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

Прямая x = –d называется директрисой, соответствующей фокусу F1(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x = d, которая является директрисой, соответствующей фокусу F2(c; 0).

Если b>aто b--большая полуось, a—малая полуось эллипса. Координаты фокусов

F1(0;c), F2(0;-c), c2=b2-a2, . (см.рис.3)

Рис.2 рис.3

3. Гипербола.Гиперболойназывается множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы: , (4)

где а—действительная, а b—мнимая полуось гиперболы. , F1(-c;0), F2(c;0),

c2=a2+b2. Число называется эксцентриситетом гиперболы. ε>1, т.к. с>a.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями: (См. рис.4)

Рис.4 рис.5

Если а = b, , то гипербола называется равнобочной (равносторонней)

Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Гипербола может быть задана уравнением . В данном случае , F1(0;c), F2(0;-c), , асимптота определяется уравнением , а уравнение директрисы . (см. рис.5).

4. Парабола.Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.



Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx. (см. рис.6)

2) y2 = -2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

3) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

4) x2 = -2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат. р—это расстояние от фокуса F до директрисы l, называется параметром параболы.

Парабола, уравнение которой y 2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Рис. 6

Парабола, уравнение которой x2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

Каноническое уравнение параболы имеет вид: ,

Где число p>0, Координаты фокуса . Точка О(0;0) называется вершиной параболы, длина r отрезка FM—фокальный радиус точки М, ось Ох—ось симметрии параболы.

Загрузка...

Данная прямая в канонической системе координат называется директрисой параболы. Расстояние от нее до фокуса называется фокальным параметром параболы. Очевидно, он равен p. Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε = k = 1.

Вид параболы в канонической системе координат и расположение ее директрисы приведены на рис.

 

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 191 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Практические задания | Теоретическая часть | Ранг матрицы | Практическая часть | Практические задания | Теоретическая часть | Практические задания | Теоретическая часть | Теоретическая часть | Практическая часть |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Практическая работа| Практическая часть

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.007 сек.)