Решение. а) Во всех точках непрерывна как рациональная

а) Во всех точках непрерывна как рациональная. Исследуем на наличие разрыва указанные точки, т.е. определим предел функции в этих точках и сравним со значением, или же установим отсутствие (конечного) предела.

-1 - точка непрерывности.

0 - точка разрыва 2-го рода.

5 – точка разрыва 1-го рода.

Ответ. непрерывна на ; 0 - точка разрыва 2-го рода; 5 – точка разрыва 1-го рода.

б) Во всех точках непрерывна как отношение непрерывных функций. Исследуем «поведение» функции в указанных точках.

2 – точка непрерывности.

0 - точка разрыва 1-го рода.

Ответ. непрерывна на 0 - точка разрыва 1-го рода.

в) . .

непрерывна на по теоремам о непрерывности частного и композиции непрерывных функций.

Задание для самостоятельного решения.

1) Найдите пределы: а) б) в)

г) д) ; е) ж)

з) и) к) ;

л) м) ;

н) о) п)

2) Определите по графику промежутки непрерывности функции и характер точек разрыва.

3) Исследуйте функции на непрерывность. Определите характер точек разрыва.

а) б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

4) Можно ли доопределить функцию в точке до непрерывности?

а) , ; б) , ;

(в) в) , ; г) , .

5) При каких значенях параметров функция является непрерывной?

а) б) в)

г) д) е) .

6) При каких

7) При каких

8) Имеет ли предел на следующая функция: ? Если да, то какой?

9) Приведите пример функции, имеющей бесконечное число точек разрыва.

Ответы.

1) Нет; нет.

2) Да, да, нет; да, да, да; да, да, да; нет, нет, нет.

3) Нет, нет.

1. а) . б) . в) .

г) . д) . е) .

ж) . з) . и) .

к) .

л) . м) .

н) .

о)

п) .

р) .

2) . 3). Да. По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.

1) а) б) 2; в) 12; г) 1; д) е) ; ж)

з) , ; и) , ;

к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) 3.

2) Промежутки непрерывности: .

Точки разрыва: - 2-го рода; - 1-го рода; - точка устранимого разрыва.

3) а) непрерывна на ; -1- точка разрыва 1-го рода.

б) непрерывна на ; 2- точка разрыва 1-го рода.

в) непрерывна на ; -4; 0 - точки разрыва 2-го рода.

г) непрерывна на ; - точки разрыва 2-го рода;

- точки устранимого разрыва.

д) непрерывна на ; -1 - точка разрыва 2-го рода.

е) непрерывна на ; -1; 0 – точки разрыва 2-го рода.

ж) непрерывна на ; - точки разрыва 2-го рода.

з) непрерывна на ; 0 – точка разрыва 2-го рода.

4) а) можно доопределить в точке 81 до непрерывности, числом .

б) нельзя доопределить в точке до непрерывности (разрыв 2-го рода).

в) можно доопределить в точке 0 до непрерывности, числом 1.

г) можно доопределить в точке 0 до непрерывности, числом -8.

5) а) б) в) г) е)

д) (функцию нельзя доопределить до непрерывности при , т.к. при любых таких и любых есть точки разрыва ).

6) . 7) . 8) Нет.

Дата добавления: 2015-07-10