Радиус произвольного нормального сечения. Средний радиус кривизны поверхности эллипсоида.

Кривизна поверхности эллипсоида в произвольном направлении определяется кривизной нормального сечения, проходящего в азимуте А и выражается уравнением Эйлера в функции главных радиусов кривизны

, (4. 16)

откуда несложно получить выражение для радиуса кривизны произвольного нормального сечения

(4. 17)

Данное выражение получим после несложных преобразований в виде

, (4. 18)

где h² = e^/2 cos² B. Это обозначение принято в высшей геодезии и будет использовано нами дальше.

Для решения целого ряда практических задач геодезии на территориях малых размеров с целью упрощения рабочих формул для вычислений поверхность эллипсоида заменяют поверхностью шара, радиус которого принимается равным среднему интегральному значению радиусов кривизны эллипсоида в данной точке. Некоторые из этих задач мы будем рассматривать дальше. Естественно, при этом важным является вопрос расчета точности вычислений.

Среднее интегральное значение для выражения (4. 17) в точке будет зависеть только от азимута. При этом видно из выражения (4. 17), что эта зависимость одинакова в четырех квадрантах, поэтому можем записать

. (4. 19)

Подставляя выражение (4. 17) в (4. 18), разделим числитель и знаменатель подынтегральной функции на Ncos² A , в результате запишем

(4. 20)

Для приведения полученного выражения к табличному интегралу введем новую переменную по формуле

,

В результате имеем выражение, взамен (4. 19)

(4. 21)

Как видим, средний радиус кривизны поверхности эллипсоида равен среднему геометрическому из главных радиусов кривизны. Подставляя в полученное выражение значения главных радиусов кривизны, имеем

(4. 22)

Полезно запомнить выражения для радиусов кривизны, если используется полярный радиус кривизны (4. 13) и вторая функция широты (4. 9).

(4. 23)

Вторую функцию широты можно также выразить через второй эксцентриситет в виде

(4. 24)

Средний радиус кривизны эллипсоида применяется для упрощения решения целого ряда геодезических задач: решении треугольников, редукционной проблемы, а также в картографии.

Дата добавления: 2015-07-10