Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основные характеристики СМО

Читайте также:
  1. I. Основные сведения
  2. I. Основные сведения
  3. I.Основные законы химии.
  4. II. Основные задачи и функции
  5. II. ОСНОВНЫЕ ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  6. II. Основные элементы гиалиновой хрящевой ткани
  7. II. Основные элементы ткани

МОДЕЛИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Общие сведения и основные понятия

В экономических исследованиях большое внимание уделяется обоснованию рекомендаций по рациональной организации работы отдельных экономических систем. Для эффективного решения подобных задач применяют математические методы и модели теории массового обслуживания. Теория массового обслуживания – новое научное направление, которое возникло в связи с необходимостью анализа процессов образования очередей. Очереди могут образовывать не только люди, но и сельскохозяйственная техника, станки, детали и т.д. Например, машины с овощами на базе, трактора на станции заправки дизтопливом, морские суда на рейде в порту (ждут освобождения причала).

Данная теория разработана в начале XX века. Ее основоположником является датский математик А.К. Эрланг (1878 – 1929), применивший методы теории вероятностей к решению задач создания и эксплуатации автоматических телефонных станций (АТС). Термин «теория МО» введен советским математиком А.Я. Хинчиным (1894 – 1959), внесшим значительный вклад в ее развитие (следует отметить также таких ученых, как А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко, Н.П. Бусленко, Б.А. Севастьянов, И.Н. Коваленко, Е.С. Вентцель и др.).

Многие экономические задачи связаны с системами МО, предназначенными для обслуживания некоторых потоков требований, поступающих в случайные моменты времени. В сфере АПК менеджеру-экономисту приходится решать такого рода задачи: а) обслуживание покупателей в сфере розничной торговли;

б) транспортное обслуживание; в) ремонт аппаратуры, машин и механизмов, находящихся в эксплуатации; г) обработка документов в системе управления и т.д.

Например, в организации фирменной торговли предприятий методы теории МО позволяют определить оптимальное количество торговых точек, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другой тип подобных задач изучает работу подразделений снабженческо-сбытовых организаций, и здесь важно установить оптимальное соотношение между числом поступающих требований и количеством обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными. Теория МО может найти применение и при расчете площади складских помещений: здесь требованием является прибытие транспортных средств под выгрузку, а складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство.

Таким образом, теория массового обслуживания изучает процессы, в которых, с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ, а с другой – происходит постоянное удовлетворение этих запросов. Совокупность обслуживающей и обслуживаемой систем составляет систему массового обслуживания (СМО).

Элементами СМО являются: входящий поток требований и выходящий поток обслуженных заявок; очередь; каналы обслуживания. Их сущность такова:

а) требование (заявка) – это каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы или удовлетворение потребности. Например: отпуск товара в магазине; разгрузка машины с грузом; ремонт холодильных установок мясокомбината; контроль готового изделия и т.д. Требования поступают в систему обслуживания из источника. Выполнение работы по удовлетворению поступившего требования называется обслуживанием. Поток требований (заявок) – это последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Если требования поступают через определенные равные промежутки времени, то поток называется регулярным. Однако такие потоки встречаются редко, тогда как в экономической практике они обычно нерегулярные и случайные. Поток требований, поступающих на систему обслуживания – входящий, а покидающих обслуживающую систему, – выходящий;

б) очередь – это совокупность или скопление требований, ожидающих обслуживания;

в) каналы обслуживания – это технические устройства (персонал), выполняющие соответствующие функции или операции (т.е. продавцы, кассиры, мастера по ремонту оборудования, бензоколонки, элеваторные весы, линии по переработке сырья и т.д.).

Время обслуживания – это период, в течение которого удовлетворяется требование на обслуживание (от начала до его завершения). Период от момента поступления требования в систему и до начала обслуживания – это время ожидания обслуживания. Следовательно, время ожидания обслуживания в совокупности со временем обслуживания составляет время пребывания требования в системе.

Максимальное число требований, которые могут обслуживаться одновременно, определяет пропускную способность системы обслуживания. Если она равна единице – это однолинейная СМО, системы с пропускной способностью больше единицы – многолинейные.

Совокупность, в которой последовательно связаны между собой поток требований, очередь и каналы обслуживания, представляет собой СМО (рис. 1).

 

 

 


Рис. 1. Графическое изображение СМО

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы системы (число каналов, их производительность, характер потока заявок) с показателями эффективности обслуживания.

На основе математических моделей СМО исследуются количественные связи между числом каналов обслуживания, их производительностью, режимом работы, характеристиками входящего потока требований и показателями (критериями) эффективности функционирования систем. Так как применяемых критериев много, то задачи оптимизации в теории массового обслуживания являются многокритериальными.

Например, необходимо исследовать входящий поток требований, процесс обслуживания и определить, при каком числе каналов обслуживания (т.е. продавцов, кассиров, мастеров и др.) суммарные издержки, обусловленные пребыванием требований в очереди и простоем каналов обслуживания, будут минимальными. В качестве критерия эффективности функционирования СМО может быть принят минимум потерь времени на пребывание в очереди. В этом случае режим функционирования СМО, в частности число каналов обслуживания, выбирается из условия практической достоверности того, что время пребывания требований в очереди не превосходит некоторой заданной величины.

Целью при решении математических задач является выработка рекомендаций по рациональному построению СМО и оптимальной организации их работы. Поэтому для многих СМО важно рассчитать следующие показатели: абсолютная пропускная способность; относительная пропускная способность; коэффициент использования системы массового обслуживания; среднее время ожидания заявки в очереди; среднее время пребывания заявки в СМО; вероятность отказа заявке; вероятность того, что будет обслуживание; среднее число заявок, находящихся в очереди, а также в СМО и др.

Можно построить множество моделей систем массового обслуживания, варьируя различными операционными характеристиками.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на: а) одноканальные; б) многоканальные. Примером одноканальных СМО является один продавец в фирменном магазине агропромышленного предприятия. Если же число обслуживающих механизмов, аппаратов больше одного, то речь идет о многоканальной СМО.

Одним из классификационных признаков является поведение требования, поступившего на вход системы, когда все каналы заняты. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания СМО бывают: а) системы с отказами (потерями); б) системы с ожиданием (очередью).

В СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ, покидают систему не обслуженными и теряются. Примеры таких систем: 1) автоматическая телефонная станция (АТС), каналами обслуживания которой являются каналы связи. Если они заняты, то требование получает отказ; 2) телефонное бюро заказов на доставку продуктов из магазина и т.д.

Среди систем с ожиданием различают чистые и смешанные (с ограничением). СМО с ожиданием называется чистой, когда требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов. В данном случае время пребывания в очереди или системе, а также длина очереди не ограничивается.

Примеры СМО с ожиданием: 1) торговое предприятие, где требованиями являются покупатели, а каналами обслуживания – продавцы или кассовые устройства. В данной ситуации покупатели, застав все кассовые аппараты занятыми, становятся в очередь и ожидают, пока не освободится один из обслуживающих каналов; 2) бензоколонки, торгово-снабженческие базы, парикмахерские и т.д. В подобных задачах необходимо соблюдение условия: отсутствуют нетерпеливые клиенты, покидающие очередь не обслуженными.

Смешанные СМО могут быть следующих видов:

а) с ограниченной длиной очереди (т.е. допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней). Так, примером такой системы выступает магазин по продаже овощей, поступающих из теплиц агроторговых предприятий (требования – транспорт с грузом);

б) с ограниченным временем ожидания (т.е. допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней). Так, примером такой системы может быть магазин, столовая с нетерпеливыми покупателями и посетителями;

в) с ограничением на общее время пребывания требований в системе;

г) с ограничением на длину очереди и время пребывания в очереди (здесь требование покидает систему, если оно застало все каналы занятыми и очередь максимально допустимой длины, а также, если оно постояло в очереди в среднем дольше некоторой величины);

д) с ограничением на длину очереди и время пребывания требований в системе.

Одним из классификационных признаков систем массового обслуживания является организация потока требований (или количество источников требований). В этом случае СМО бывают:

а) разомкнутые (когда источник требования находится вне системы). По-другому их называют с неограниченным входящим потоком или с неограниченным числом источников требований. Примерами разомкнутых СМО являются:

1) столовая агрофирмы. Здесь посетители – это источник требований на их обслуживание. Они находятся вне самой системы и число требований можно считать неограниченным, т.е. отсутствует ограничение на контингент питающихся; 2) ателье по ремонту телевизоров, мастерская по обслуживанию сельскохозяйственных машин и т.д.

б) замкнутые (когда источник находится в самой системе). Их еще называют системами с ограниченным потоком требований или с ограниченным числом источников требований. К замкнутым СМО можно отнести следующие:

1) торговые автоматы магазина, в котором обслуживается группа данных установок. В этой системе поток требований – автоматы, нуждающиеся в ремонте. Он зависит от того, сколько неисправных и сколько нормально функционирующих установок в тот или иной момент времени. Число автоматов, вышедших из строя, ограничено, оно не может быть больше общего их количества в магазине; 2) станочный участок завода сельскохозяйственного машиностроения. Здесь станки являются источником неисправностей, т.е. источником требований на их обслуживание бригадой наладчиков. При этом число станков, вышедших из строя, не может превзойти их общего количества в данном цехе.

Следующим признаком классификации является дисциплина обслуживания, т.е. правило отбора требований, поступающих в каналы обслуживания. Другими словами, это способ занятия канала обслуживания или способ выбора требования из очереди. По этому признаку СМО делятся на: а) системы без приоритета; б) системы с приоритетами.

Системы массового обслуживания без приоритета могут быть:

а) с упорядоченным обслуживанием. Наиболее распространенным является выбор требований в порядке их поступления в очередь: «первым пришел – первым обслуживаешься», т.е. FIFO – от английского First-In-First-Out. Например, система по приемке зерна на элеваторе. Иногда требования поступают в каналы обслуживания в соответствии с правилом: «последним пришел – первым обслуживаешься», т.е. LIFO – от английского Last-In-First-Out. Например, система, состоящая из двух стадий обработки деталей для колесного трактора. В ней детали, прошедшие первый этап обработки, складываются в контейнер, и первой на второй этап обработки поступает верхняя деталь, т.е. последняя из поступивших;

б) с неупорядоченным обслуживанием. В такой системе действует случайный выбор требований на обслуживание, что часто встречается в производственной практике.

СМО с приоритетом обуславливают различный подход при отборе в канал обслуживания и могут быть:

1) с абсолютным приоритетом. Ее суть в том, что обслуживание требования немедленно прерывается при поступлении требования с более высоким приоритетом. Так, если в системе ремонта станков отдельные из них выполняют особо срочные заказы к посевной кампании, то при случайных отказах данные станки должны ремонтироваться в первую очередь;

2) с относительным приоритетом. Ее суть в том, что начатое обслуживание требования с низшим приоритетом не прекращается в момент поступления требования с более высоким приоритетом, а обязательно завершается. При этом требование с более высоким приоритетом, поступившее в систему, имеет право только на лучшее место в очереди. Примером такой системы является стоматологическое отделение в поликлинике учебно-опытного хозяйства, где работники, являющиеся пациентами с острой зубной болью, обслуживаются вне очереди. К такой системе относятся и кассовые аппараты магазина АПК, обслуживающие вне очереди тружеников сельского хозяйства, пользующихся определенными льготами.

Существуют также многофазные СМО, в которых процесс обслуживания выполняется последовательно, т.е. через ряд этапов. Поступающее в систему требование вначале обслуживается в первой фазе, затем переходит во вторую и т.д. Примеры таких систем следующие:

1) технологические потоки сборки различных изделий, когда узлы передаются из цеха в цех, проходя последовательные фазы обслуживания; 2) универсам, в котором обслуживание покупателей разделено на следующие этапы: сдача вещей, выбор корзин, выбор товара в различных отделах, расчет в кассах, получение сумок.

 
Таким образом, при всем многообразии рассматриваемых моделей главной целью теории массового обслуживания будет являться исследование различных характеристик случайного состояния СМО. На основе моделей массового обслуживания можно разрабатывать экономические рекомендации по реорганизации СМО для повышения эффективности их работы, а также определять оптимальные показатели вновь создаваемых систем массового обслуживания.

Методы и модели, применяющиеся в теории МО, можно условно разделить на аналитические и имитационные. Рассмотрим аналитические методы, которые позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования.

 

Основные характеристики СМО

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких СМО, процесс функционирования которых является марковским (по имени русского математика А.А. Маркова). Речь идет о том, что все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются простейшими. Простейший поток случайных событий обладает тремя свойствами:

– ординарность. Практически это означает невозможность одновременного поступления двух и более требований, т.е. требования поступают в СМО независимо друг от друга. Примерами ординарных потоков являются поток требований на наладку станков, поток машин на торговую базу и т.д. Неординарные потоки встречаются на практике реже, в частности поток пассажиров с самолета.

– стационарность. Поток называется стационарным, если вероятность поступления данного числа требований в течение заданного промежутка времени зависит от его величины и не зависит от его положения на оси времени. Суть этого свойства в том, что вероятностные характеристики стационарного потока требований не изменяются со временем;

– отсутствие последействия. Речь идет о том, что появление в потоке очередного события не зависит от того, когда появлялись в нем предшествующие события. Например, число требований, поступивших в систему до момента , не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток времени от до . Это означает, что будущее развитие процесса появления требований не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом. Допустим, что поток покупателей в магазине можно считать потоком без последействия, так как их число в интервале времени с 15.00 до 16.00 не зависит от того, сколько было покупателей в интервале с 10.00 до 11.00.

Одними из характеристик потока случайных событий являются:

l – интенсивность входящего потока, то есть среднее число требований, поступающих в систему в единицу времени. Данный параметр определяет скорость, с которой происходят события; m – интенсивность обслуживания заявок одним каналом при непрерывной его работе.

Математически доказано, что простейший поток требований с известным параметром l описывается законом французского физика и математика Пуассона:

где Рк(t) – вероятность того, что на произвольно выбранном участке времени продолжительностью t поступит ровно к требований; среднее число требований, поступающих за время t.

На рис. 2 схематически представлена специализированная система обслуживания пуассоновского типа, в которой параллельно функционируют несколько идентичных средств обслуживания. На нем видно, что ожидающее требование выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном канале. Число требований, находящихся в системе обслуживания, включает те, которые уже обслуживаются и те, что находятся в очереди.

 

Система обслуживания

 

Очередь Средства

обслуживания

 

 

Выходной

Входной поток

поток

 

Рис. 2. Схема многоканальной СМО

 

Важнейшей характеристикой, определяющей пропускную способность СМО, является время обслуживания, которое, как правило, случайная величина. Например, кассир в магазине обслуживает каждого покупателя за различное случайное время, зависящее от большого числа факторов. Наибольшее распространение в теории принятия решений получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:

то есть, вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется данной формулой.

При этом интенсивность обслуживания (m) является величиной, обратной среднему времени обслуживания():

.

Во всех практических расчетах, как входящие потоки, так и распределения вероятностей длительности обслуживания никогда не бывают известны с абсолютной точностью. О них приходится делать заключения либо на основании статистических данных, либо на базе некоторых теоретических соображений.

Рассмотрим типичную постановку задачи, решаемой с помощью теории массового обслуживания. Известными величинами являются заданный входящий поток требований, дисциплина обслуживания и закон распределения времени обслуживания. Нужно оценить качество и эффективность функционирования СМО и выявить возможность их улучшения.

При рассмотрении общих систем массового обслуживания предполагается, что система функционирует в течение достаточно большого интервала времени, по истечении которого в ее работе наступает стационарный режим. Теоретически установившийся режим наступает при , а вероятностные характеристики такой СМО уже не зависят от времени. Поэтому система значений вероятностей состояний, соответствующих предельному стационарному режиму работы СМО, называется финальными вероятностями.

Анализ характеристик работы различных систем массового обслуживания может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО. Математическая модель СМО записывается в виде системы дифференциальных уравнений Колмогорова, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Для СМО с потерями важнейшей характеристикой является вероятность отказа в обслуживании (средняя доля требований, получающих отказ). Вероятность отказа определяет, в какой степени данная система обслуживания способна удовлетворить поступающий поток требований. Другими характеристиками таких систем являются вероятность обслуживания требования, среднее число занятых и простаивающих каналов и др.

Для СМО с ожиданием основными характеристиками являются средняя длина очереди, среднее время ожидания требованием начала обслуживания, коэффициенты загрузки и простоя каналов обслуживания, вероятность иметь в очереди в данный момент не более определенного числа требований и др.

При определении оптимальных параметров систем массового обслуживания в качестве выбранного критерия эффективности могут быть: количество каналов обслуживания, длина очереди, приоритет в обслуживании заявок и т.д. Часто применяется и стоимостной критерий, отражающий величину издержек, связанных с функционированием системы в единицу времени. Изменяя условия функционирования СМО, меняется и функция издержек (для исследователя важно найти ее наименьшее значение).

Следовательно, модели массового обслуживания в сочетании с экономической постановкой задач позволяют проводить анализ существующих СМО, разрабатывать рекомендации по их реорганизации для повышения эффективности работы, а также определять оптимальные показатели вновь создаваемых СМО.

Рассмотренные методы широко применяются при стационарном режиме работы СМО, причем в данных моделях предполагается воздействие на систему только простейших потоков случайных событий. Если нарушается хотя бы одно из требований, то используют методы имитационного моделирования. Алгоритм строится на основе следующих исходных данных:

1) определяется число каналов и их характеристики: производительность; закон распределения вероятностей продолжительности обслуживания заявки; правило вступления канала в работу; правило прекращения обслуживания;

2) на входе системы могут быть определены один или более случайных потоков заявок, имеющих любые законы вероятностного описания;

3) определяется дисциплина очереди, зависящая от времени и состояния системы;

4) определяется продолжительность времени моделирования системы.

Имитационное моделирование основывается на имитации случайных событий, происходящих в системе. Затем проводится статистическая обработка результатов моделирования с целью оценки качественных характеристик СМО. Для моделирования случайных событий применяются также псевдослучайные датчики. Они вырабатывают случайные величины с заданными характеристиками по специальному алгоритму имитационной модели. Затем проводится статистическая обработка результатов моделирования с целью оценки качественных характеристик СМО.

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 404 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Анализ с точки зрения дизайна| Задачи СМО с отказами (потерями)

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.018 сек.)